Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estimase que 25 % desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X : N^circ de tanques com vazamento, de um total de 15.
P(no máximo 5 tanques apresentam vazamento)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vazamentos em tanques de gasolina subterrâneos. A gente sabe que 25% desses tanques têm vazamento. A missão é descobrir a probabilidade de que, em uma amostra de 15 tanques escolhidos de forma aleatória, no máximo 5 apresentem vazamento. Vamos usar a distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. É uma ferramenta que usamos quando temos uma série de experimentos independentes, cada um com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “sucesso” pode ser considerado um tanque com vazamento, e “fracasso” um tanque sem vazamento.

Passo 3

Agora, vamos identificar os parâmetros que vamos usar:
  • n = número de tentativas ou experimentos = 15 tanques.
  • p = probabilidade de sucesso em cada tentativa = 25% ou 0,25.
  • X = número de sucessos (tanques com vazamento) que queremos encontrar a probabilidade.

Passo 4

A probabilidade que queremos encontrar é $ P(X \leq 5) $, ou seja, a probabilidade de ter no máximo 5 tanques com vazamento entre os 15 examinados.

Passo 5

Para calcular $ P(X \leq 5) $, precisamos somar as probabilidades de X ser 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A fórmula da distribuição binomial é:
P(X <= 5)
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
P(X = k) = binom15k times (0,25)^k times (0,75)^15 - k
Fazendo isso para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 e somando os resultados.

Passo 7

Depois de calcular cada $ P(X = k) $ e somar todos, teremos a probabilidade total de que no máximo 5 tanques apresentem vazamento.

Resposta

A probabilidade de que no máximo 5 dos 15 tanques apresentem vazamento é aproximadamente 0,952 ou 95,2%.

Exercícios relacionados