Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estimase que
desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X :
de tanques com vazamento, de um total de 15.
P(no máximo 5 tanques apresentam vazamento)
X :
P(no máximo 5 tanques apresentam vazamento)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vazamentos em tanques de gasolina subterrâneos. A gente sabe que 25% desses tanques têm vazamento. A missão é descobrir a probabilidade de que, em uma amostra de 15 tanques escolhidos de forma aleatória, no máximo 5 apresentem vazamento. Vamos usar a distribuição binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. É uma ferramenta que usamos quando temos uma série de experimentos independentes, cada um com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “sucesso” pode ser considerado um tanque com vazamento, e “fracasso” um tanque sem vazamento.
Passo 3
Agora, vamos identificar os parâmetros que vamos usar:
- n = número de tentativas ou experimentos = 15 tanques.
- p = probabilidade de sucesso em cada tentativa = 25% ou 0,25.
- X = número de sucessos (tanques com vazamento) que queremos encontrar a probabilidade.
Passo 4
A probabilidade que queremos encontrar é $ P(X \leq 5) $, ou seja, a probabilidade de ter no máximo 5 tanques com vazamento entre os 15 examinados.
Passo 5
Para calcular $ P(X \leq 5) $, precisamos somar as probabilidades de X ser 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k sucessos em n tentativas.
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
Fazendo isso para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 e somando os resultados.
Passo 7
Depois de calcular cada $ P(X = k) $ e somar todos, teremos a probabilidade total de que no máximo 5 tanques apresentem vazamento.
Resposta
A probabilidade de que no máximo 5 dos 15 tanques apresentem vazamento é aproximadamente 0,952 ou 95,2%.