Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estimase que
desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X :
de tanques com vazamento, de um total de 15.
P (exatamente 7 apresentem vazamento?)
X :
P (exatamente 7 apresentem vazamento?)
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício sobre probabilidade, mais especificamente sobre a distribuição binomial. A questão fala que 25% dos tanques de gasolina subterrâneos têm vazamento. A gente vai examinar 15 tanques escolhidos ao acaso e quer saber qual a probabilidade de exatamente 7 deles estarem com vazamento. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros que precisamos para a fórmula binomial. A fórmula é:
Aqui:
- $ n $ é o número total de tentativas (no nosso caso, 15 tanques),
- $ k $ é o número de sucessos que queremos (7 tanques com vazamento),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (25%, ou 0,25),
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula as diferentes combinações possíveis de escolher k sucessos em n tentativas.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{15}{7} $. Isso significa quantas maneiras diferentes a gente pode escolher 7 tanques com vazamento dentre os 15.
Calculando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1-p)^{n-k} $.
Calculando:
Passo 5
Agora, multiplicamos todos os componentes juntos para encontrar a probabilidade:
Calculando isso:
Resposta
A probabilidade de exatamente 7 dos 15 tanques apresentarem vazamento é aproximadamente $ 0,983% $.