Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estimase que 25 % desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X : N^circ de tanques com vazamento, de um total de 15.
P (exatamente 7 apresentem vazamento?)

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício sobre probabilidade, mais especificamente sobre a distribuição binomial. A questão fala que 25% dos tanques de gasolina subterrâneos têm vazamento. A gente vai examinar 15 tanques escolhidos ao acaso e quer saber qual a probabilidade de exatamente 7 deles estarem com vazamento. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que precisamos para a fórmula binomial. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Aqui:
  • $ n $ é o número total de tentativas (no nosso caso, 15 tanques),
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos (7 tanques com vazamento),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (25%, ou 0,25),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula as diferentes combinações possíveis de escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{15}{7} $. Isso significa quantas maneiras diferentes a gente pode escolher 7 tanques com vazamento dentre os 15.
binom157
Calculando isso, temos:
binom157 = 15!7! times (15-7)! = 15!7! times 8!

Passo 4

Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1-p)^{n-k} $.
p^k
(1-p)^n-k
Calculando:
p^k = 0,25^7
(1-p)^n-k = 0,75^15-7 = 0,75^8

Passo 5

Agora, multiplicamos todos os componentes juntos para encontrar a probabilidade:
P(X = 7) = 6435 times 0,00001525878906 times 0,100112915
Calculando isso:
P(X = 7) approx 6435 times 0,00001525878906 times 0,100112915
P(X = 7) approx 6435 times 0,000001529693
P(X = 7) approx 0,00983

Resposta

A probabilidade de exatamente 7 dos 15 tanques apresentarem vazamento é aproximadamente $ 0,983% $.

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