Uma empresa de marketing direto foi contratada e envia cartas promocionais aos clientes de uma rede de lojas. A taxa histórica de resposta é de 10 %. Se a empresa enviou 20 cartas, calcule a probabilidade de que:
X : N^circ de cartas respondidas, de um total de 20.
P(exatamente duas pessoas respondam)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa de marketing que manda 20 cartas para os clientes, e historicamente, 10% dessas cartas recebem resposta. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de exatamente duas pessoas responderem a essas cartas. Para resolver isso, vamos usar a teoria da Distribuição Binomial, que é perfeita para calcular probabilidades em situações com duas opções de resultado (responder ou não responder).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos uma série de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada carta enviada pode ser vista como uma tentativa, onde “sucesso” é a carta ser respondida. A fórmula para a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ (1 - p) $ é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Número total de cartas enviadas ($ n $) = 20
  • Probabilidade de uma carta ser respondida ($ p $) = 0,10
  • Número de respostas que queremos ($ k $) = 2

Passo 4

Agora, calculamos a combinação $ \binom{20}{2} $, que representa o número de maneiras de escolher 2 cartas que serão respondidas entre as 20 enviadas.
binom202

Passo 5

Em seguida, calculamos $ p^{k} $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k
(1 - p)^n - k
Vamos calcular $ 0,90^{18} $:
p^k = 0,10^2 = 0,01

Passo 6

Agora, multiplicamos todos os valores para encontrar a probabilidade:
P(X = 2) = 190 times 0,01 times 0,1502 approx 190 times 0,001502 = 0,2854

Resposta

A probabilidade de exatamente duas pessoas responderem às 20 cartas enviadas é de aproximadamente 28,54%.

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