Uma empresa de marketing direto foi contratada e envia cartas promocionais aos clientes de uma rede de lojas. A taxa histórica de resposta é de
. Se a empresa enviou 20 cartas, calcule a probabilidade de que:
X :
de cartas respondidas, de um total de 20.
P(exatamente duas pessoas respondam)
X :
P(exatamente duas pessoas respondam)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa de marketing que manda 20 cartas para os clientes, e historicamente, 10% dessas cartas recebem resposta. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de exatamente duas pessoas responderem a essas cartas. Para resolver isso, vamos usar a teoria da Distribuição Binomial, que é perfeita para calcular probabilidades em situações com duas opções de resultado (responder ou não responder).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos uma série de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada carta enviada pode ser vista como uma tentativa, onde “sucesso” é a carta ser respondida. A fórmula para a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ (1 - p) $ é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Número total de cartas enviadas ($ n $) = 20
- Probabilidade de uma carta ser respondida ($ p $) = 0,10
- Número de respostas que queremos ($ k $) = 2
Passo 4
Agora, calculamos a combinação $ \binom{20}{2} $, que representa o número de maneiras de escolher 2 cartas que serão respondidas entre as 20 enviadas.
Passo 5
Em seguida, calculamos $ p^{k} $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
Vamos calcular $ 0,90^{18} $:
Passo 6
Agora, multiplicamos todos os valores para encontrar a probabilidade:
Resposta
A probabilidade de exatamente duas pessoas responderem às 20 cartas enviadas é de aproximadamente 28,54%.