Vinte por cento dos domicílios norte-americanos possuem três ou mais veículos motorizados. Você seleciona 12 domicílios ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X: N^o de domicílios com mais de 2 veículos, de um total de 12 domicílios.
P(nenhum dos domicílios selecionados possuir ao menos três veículos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Sabemos que 20% das casas nos Estados Unidos têm três ou mais veículos. A gente vai selecionar 12 casas aleatoriamente e quer saber a chance de que nenhuma delas tenha pelo menos três veículos. Para resolver isso, vamos usar um modelo chamado Distribuição Binomial, que é perfeito para situações onde temos um número fixo de tentativas e cada tentativa tem duas possibilidades: sucesso ou fracasso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Distribuição Binomial. Ela é usada quando a gente tem:
  • Um número fixo de tentativas (n).
  • Cada tentativa tem duas opções: sucesso ou fracasso.
  • A probabilidade de sucesso § é a mesma em cada tentativa.
  • As tentativas são independentes.
No nosso caso:
  • n = 12 (as 12 casas que vamos selecionar).
  • Sucesso = a casa tem pelo menos três veículos.
  • p = 0,20 (20% das casas têm três ou mais veículos).

Passo 3

Queremos calcular a probabilidade de que nenhuma das 12 casas tenha pelo menos três veículos. Isso significa que todas as 12 casas têm menos de três veículos. Então, estamos procurando P(X = 0), onde X é o número de casas com três ou mais veículos.

Passo 4

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
  • p^k é a probabilidade de sucesso elevado ao número de sucessos.
  • (1 - p)^n - k é a probabilidade de fracasso elevado ao número de fracassos.

Passo 5

No nosso caso, queremos P(X = 0):
P(X = 0) = binom120 times 0,20^0 times (1 - 0,20)^12 - 0

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  • binom120 = 1 (Há apenas uma maneira de escolher zero casas).
  • 0,20^0 = 1 (Qualquer número elevado a zero é 1).
  • (1 - 0,20)^12 = 0,80^12.
Então:
P(X = 0) = 1 times 1 times 0,80^12

Passo 7

Agora, calculamos 0,80^12:
0,80^12 approx 0,0687

Passo 8

Portanto:
P(X = 0) approx 0,0687

Resposta

A probabilidade de que nenhum dos 12 domicílios selecionados possua pelo menos três veículos é aproximadamente 6,87%.

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