Vinte por cento dos domicílios norte-americanos possuem três ou mais veículos motorizados. Você seleciona 12 domicílios ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X:
de domicílios com mais de 2 veículos, de um total de 12 domicílios.
P(nenhum dos domicílios selecionados possuir ao menos três veículos)
X:
P(nenhum dos domicílios selecionados possuir ao menos três veículos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Sabemos que 20% das casas nos Estados Unidos têm três ou mais veículos. A gente vai selecionar 12 casas aleatoriamente e quer saber a chance de que nenhuma delas tenha pelo menos três veículos. Para resolver isso, vamos usar um modelo chamado Distribuição Binomial, que é perfeito para situações onde temos um número fixo de tentativas e cada tentativa tem duas possibilidades: sucesso ou fracasso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Distribuição Binomial. Ela é usada quando a gente tem:
- Um número fixo de tentativas (n).
- Cada tentativa tem duas opções: sucesso ou fracasso.
- A probabilidade de sucesso § é a mesma em cada tentativa.
- As tentativas são independentes.
No nosso caso:
- n = 12 (as 12 casas que vamos selecionar).
- Sucesso = a casa tem pelo menos três veículos.
- p = 0,20 (20% das casas têm três ou mais veículos).
Passo 3
Queremos calcular a probabilidade de que nenhuma das 12 casas tenha pelo menos três veículos. Isso significa que todas as 12 casas têm menos de três veículos. Então, estamos procurando P(X = 0), onde X é o número de casas com três ou mais veículos.
Passo 4
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
-
é o número de combinações de n elementos tomados k a k. -
é a probabilidade de sucesso elevado ao número de sucessos. -
é a probabilidade de fracasso elevado ao número de fracassos.
Passo 5
No nosso caso, queremos P(X = 0):
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
-
(Há apenas uma maneira de escolher zero casas). -
(Qualquer número elevado a zero é 1). -
.
Então:
Passo 7
Agora, calculamos
:
Passo 8
Portanto:
Resposta
A probabilidade de que nenhum dos 12 domicílios selecionados possua pelo menos três veículos é aproximadamente 6,87%.