Uma empresa montadora de computadores fornece uma garantia para os seus produtos de 12 meses. Uma amostra de 10 de seus computadores em testes acelerados de vida acusaram um tempo de vida médio equivalente a 11,125 meses e desvio padrão de 0,152 mês. Pede-se:
a) Determine o intervalo de de confiança para todos os computadores montados por essa empresa.
b) O que você pode concluir sobre o tempo de garantia dessa empresa?
c) Se a amostra fosse de 20 computadores e com os mesmos parâmetros, as suas conclusões para os itens (a) e (b) seriam alteradas?
d) Se a amostra fosse de 50 computadores? As suas conclusões para os itens (a) e (b) seriam alteradas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma empresa que oferece garantia de 12 meses para seus computadores. Eles fizeram um teste acelerado em uma amostra de computadores e descobriram que, em média, esses computadores duram 11,125 meses antes de apresentarem algum problema, com um desvio padrão de 0,152 meses. Vamos usar esses dados para calcular intervalos de confiança e tirar algumas conclusões sobre a garantia oferecida pela empresa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a) da questão: determinar o intervalo de confiança de 99% para todos os computadores da empresa. Para isso, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão é conhecido e a amostra é pequena.
A fórmula é:
Onde:
é a média da amostra
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado
é o desvio padrão da amostra
é o tamanho da amostra
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
meses
meses
Nível de confiança = 99%
Precisamos encontrar o valor de correspondente a um intervalo de confiança de 99%. Para isso, consultamos uma tabela de distribuição normal ou usamos uma calculadora estatística. O valor de para 99% de confiança é aproximadamente 2,576.
Passo 4
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos :
Em seguida, multiplicamos por :
Então, o intervalo de confiança fica:
Ou seja, de aproximadamente 11,002 meses a 11,248 meses.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): O que isso significa para o tempo de garantia da empresa?
O intervalo de confiança de 99% que encontramos é de 11,002 meses a 11,248 meses. Isso significa que estamos 99% confiantes de que a média do tempo de vida dos computadores da empresa está dentro desse intervalo. Como a garantia oferecida é de 12 meses, que está fora desse intervalo, podemos concluir que a garantia da empresa é maior do que a média observada dos testes acelerados.
Passo 6
Na parte c), a amostra aumenta para 20 computadores com os mesmos parâmetros. Vamos recalcular o intervalo de confiança com .
Usamos a mesma fórmula:
Primeiro, recalculamos o erro padrão:
Multiplicando pelo de 99%, que continua 2,576:
Portanto, o novo intervalo de confiança é:
Ou seja, de aproximadamente 11,038 meses a 11,212 meses.
Conclusão: Com uma amostra maior, o intervalo de confiança ficou mais estreito, mas ainda está abaixo dos 12 meses de garantia. Portanto, as conclusões permanecem as mesmas: a garantia da empresa é maior que a média observada.
Passo 7
Na parte d), a amostra aumenta para 50 computadores. Vamos recalcular novamente com .
Usamos a fórmula:
Calculando o erro padrão:
Multiplicando pelo de 99%:
Então, o intervalo de confiança é:
Ou seja, de aproximadamente 11,070 meses a 11,180 meses.
Conclusão: Com uma amostra ainda maior, o intervalo de confiança ficou ainda mais estreito, mas continua abaixo dos 12 meses de garantia. As conclusões permanecem as mesmas: a garantia da empresa é maior que a média observada.
Resposta
a) O intervalo de confiança de 99% para a média de vida dos computadores é de aproximadamente 11,002 meses a 11,248 meses.
b) Podemos concluir que a garantia de 12 meses oferecida pela empresa é maior que a média observada nos testes acelerados, indicando que a garantia é adequada.
c) Com uma amostra de 20 computadores, o intervalo de confiança fica de aproximadamente 11,038 meses a 11,212 meses. As conclusões sobre a garantia permanecem as mesmas.
d) Com uma amostra de 50 computadores, o intervalo de confiança é de aproximadamente 11,070 meses a 11,180 meses. As conclusões sobre a garantia continuam as mesmas.