Um fabricante de discos rígidos (HD) adquire discos de uma liga metálica específica. A especificação para o número de rotações suportado por esses discos deve seguir uma variável aleatória X com distribuição normal com média 7.200 RPM e desvio padrão de 250 RPM. Considera-se ainda que o disco é defeituoso se X<6750 RPM.
a) Na recepção desses discos, um deles é escolhido ao acaso e é feito o teste de velocidade. Qual é a probabilidade de que ele esteja defeituoso?
b) Caso um lote de discos bons seja aceito, eles comporão um HD que dará lucro de US $ 200,00. Caso um lote ruim seja aceito, o disco ainda pode ser reciclado se a velocidade estiver entre 6650 RPM e 6750 RPM , a um custo adicional de US $ 50,00. Caso contrário, o lote não pode ser usado causando um prejuízo de US $ 90,00 . Pergunta-se: qual é o lucro esperado para esse fabricante de HDs?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo aqui! Temos um fabricante de discos rígidos que compra discos feitos de uma liga metálica específica. A velocidade de rotação desses discos segue uma distribuição normal com média de 7.200 RPM e desvio padrão de 250 RPM. Um disco é considerado defeituoso se sua rotação for menor que 6.750 RPM. A gente vai resolver duas partes:
a) Qual a chance de um disco escolhido aleatoriamente ser defeituoso?
b) Qual é o lucro esperado desse fabricante considerando as diferentes situações de aceitação ou rejeição dos lotes de discos?
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal, calcular probabilidades usando a tabela Z e, no segundo item, usar conceitos de valor esperado.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um disco ser defeituoso, ou seja, a probabilidade de Z = X - musigma .
A distribuição normal é definida pela média ( Z = 6750 - 7200250 = -450250 = -1,8 RPM) e pelo desvio padrão ( RPM). Para encontrar essa probabilidade, vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore Z:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a P(Z < -1,8) approx 0,0359 . Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, vemos que:
Isso significa que há aproximadamente 3,59% de chance de um disco ser defeituoso.

Passo 4

Parte b) Vamos calcular o lucro esperado considerando as possíveis situações:
  1. Lote bom aceito: Lucro de $200.
  2. Lote ruim aceito e reciclado: Custo adicional de $50.
  3. Lote ruim não pode ser usado: Prejuízo de $90.
Primeiro, precisamos definir o que é um lote ruim: discos com 200 2 **Lote ruim aceito e reciclado**: Custo adicional de RPM, que já sabemos que a probabilidade disso ocorrer é 3,59%. Portanto, a probabilidade de um lote ser bom é ou 96,41%.
Dentro dos lotes ruins, há duas possibilidades:
  • Disco reciclado:
  • Disco não pode ser usado:
Vamos calcular as probabilidades dessas subcategorias.

Passo 5

Primeiro, calculamos a probabilidade de Z1 = 6650 - 7200250 = -2,2 .
Calculando os escores Z para 6650 e 6750:
Z2 = 6750 - 7200250 = -1,8
P(-2,2 < Z < -1,8) = P(Z < -1,8) - P(Z < -2,2) approx 0,0359 - 0,0139 = 0,022
A probabilidade de Z = 6650 - 7200250 = -2,2 é:
P(Z < -2,2) approx 0,0139
Então, 2,2% dos lotes são ruins e podem ser reciclados com custo adicional.
A outra possibilidade é , que temos:
Então, 1,39% dos lotes ruins não podem ser usados, resultando em prejuízo.

Passo 6

Agora, vamos calcular o lucro esperado ( E = (Pbom times 200) + (Preciclado times (-50)) + (Pprejuízo times (-90)) ):
E = (0,9641 times 200) + (0,022 times (-50)) + (0,0139 times (-90)) í
Substituindo os valores:
E = 192,82 - 1,10 - 1,251 = 190,469

Resposta

O lucro esperado para o fabricante de HDs é de aproximadamente US$ 190,47.

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