Um pequeno provedor de acesso à Web, tem três servidores, cujo período de manutenção seguem respectivamente as seguintes distribuições: e em dias. Calcule a probabilidade de:
a) o servidor 1 não precise de manutenção nos próximos 45 dias?
b) O servidor 2 não precise de manutenção nos próximos 47 dias?
c) O servidor 3 não precise de manutenção nos próximos 49 dias?
d) O servidor 1 precise da manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
e) O servidor 2 precise da manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
f) O servidor 3 precise da manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
g) Baseado nas respostas dos itens (d) até (f) é possível dizer que em algum momento, entre os próximos 42 e 47 dias, o provedor não estará no ar (sem servidores disponíveis)?

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre distribuição normal aplicado a tempos de manutenção de servidores. A gente vai calcular probabilidades de certos eventos acontecerem nos próximos dias, tipo um servidor não precisar de manutenção ou precisar dentro de um intervalo específico. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, especialmente a distribuição normal, e a tabela Z para encontrar essas probabilidades.

Passo 2

Item a): Qual a probabilidade de o servidor 1 não precisar de manutenção nos próximos 45 dias?
Primeiro, sabemos que o tempo de manutenção do servidor 1 segue uma distribuição normal com média dias e variância , então o desvio padrão é . Queremos saber .
Para achar essa probabilidade, vamos padronizar o valor usando o Z-score:
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para , que dá aproximadamente 0,6915. Mas isso é , então a probabilidade de é:

Passo 3

Item b): Qual a probabilidade de o servidor 2 não precisar de manutenção nos próximos 47 dias?
Aqui, o servidor 2 tem uma distribuição normal com média dias e variância , então . Queremos .
Calculando o Z-score:
Consultando a tabela para , temos . Então:

Passo 4

Item c): Qual a probabilidade de o servidor 3 não precisar de manutenção nos próximos 49 dias?
O servidor 3 tem média dias e variância , então . Queremos .
Calculando o Z-score:
Usando a tabela, . Logo:

Passo 5

Item d): Qual a probabilidade de o servidor 1 precisar de manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
Isso significa . Usando a média e .
Calculamos os Z-scores:
Para 42:
Para 47:
Consultando a tabela:
Então:

Passo 6

Item e): Qual a probabilidade de o servidor 2 precisar de manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
Aqui, para o servidor 2 com e , queremos .
Calculamos os Z-scores:
Para 42:
Para 47:
Consultando a tabela:
Então:

Passo 7

Item f): Qual a probabilidade de o servidor 3 precisar de manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
Para o servidor 3 com e , queremos .
Calculamos os Z-scores:
Para 42:
Para 47:
Consultando a tabela:
Então:

Passo 8

Item g): Baseado nas respostas dos itens (d) a (f), é possível dizer que em algum momento, entre os próximos 42 e 47 dias, o provedor não estará no ar (sem servidores disponíveis)?
Vamos analisar as probabilidades de cada servidor precisar de manutenção nesse intervalo:
  • Servidor 1: 29,67%
  • Servidor 2: 58,99%
  • Servidor 3: 39,44%
Para que o provedor não esteja no ar, todos os três servidores precisariam estar em manutenção ao mesmo tempo, ou seja, a interseção dos eventos. Assumindo independência (o que geralmente se assume em problemas assim), calculamos:
ê
Isso indica que há cerca de 6,93% de chance de, simultaneamente, os três servidores estarem em manutenção entre 42 e 47 dias, ou seja, o provedor estaria sem servidores disponíveis nesse período.

Resposta

a) 30,85%
b) 25,14%
c) 30,85%
d) 29,67%
e) 58,99%
f) 39,44%
g) Existe aproximadamente 6,93% de chance de o provedor não estar no ar entre os próximos 42 e 47 dias.

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a) a média e a variância da população.
b) a distribuição amostral da média, em forma tabular.
c) Calcule sua média e sua variância a partir da distribuição obtida em (b).
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