Um pequeno provedor de acesso à Web, tem três servidores, cujo período de manutenção seguem respectivamente as seguintes distribuições: N1(42 ; 36), N2(45 ; 9) e N3(47 ; 16) em dias. Calcule a probabilidade de:
a) o servidor 1 não precise de manutenção nos próximos 45 dias?
b) O servidor 2 não precise de manutenção nos próximos 47 dias?
c) O servidor 3 não precise de manutenção nos próximos 49 dias?
d) O servidor 1 precise da manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
e) O servidor 2 precise da manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
f) O servidor 3 precise da manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
g) Baseado nas respostas dos itens (d) até (f) é possível dizer que em algum momento, entre os próximos 42 e 47 dias, o provedor não estará no ar (sem servidores disponíveis)?

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre distribuição normal aplicado a tempos de manutenção de servidores. A gente vai calcular probabilidades de certos eventos acontecerem nos próximos dias, tipo um servidor não precisar de manutenção ou precisar dentro de um intervalo específico. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, especialmente a distribuição normal, e a tabela Z para encontrar essas probabilidades.

Passo 2

Item a): Qual a probabilidade de o servidor 1 não precisar de manutenção nos próximos 45 dias?
Primeiro, sabemos que o tempo de manutenção do servidor 1 segue uma distribuição normal com média mu1 = 42 dias e variância sigma1^2 = 36, então o desvio padrão é sigma1 = 6. Queremos saber P(N1 > 45).
Para achar essa probabilidade, vamos padronizar o valor usando o Z-score:
Z = X - musigma = 45 - 426 = 36 = 0,5
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para Z = 0,5, que dá aproximadamente 0,6915. Mas isso é P(Z <= 0,5), então a probabilidade de N1 > 45 é:
P(N1 > 45) = 1 - 0,6915 = 0,3085 ou 30,85%

Passo 3

Item b): Qual a probabilidade de o servidor 2 não precisar de manutenção nos próximos 47 dias?
Aqui, o servidor 2 tem uma distribuição normal com média mu2 = 45 dias e variância sigma2^2 = 9, então sigma2 = 3. Queremos P(N2 > 47).
Calculando o Z-score:
Z = 47 - 453 = 23 approx 0,6667
Consultando a tabela para Z approx 0,67, temos P(Z <= 0,67) approx 0,7486. Então:
P(N2 > 47) = 1 - 0,7486 = 0,2514 ou 25,14%

Passo 4

Item c): Qual a probabilidade de o servidor 3 não precisar de manutenção nos próximos 49 dias?
O servidor 3 tem média mu3 = 47 dias e variância sigma3^2 = 16, então sigma3 = 4. Queremos P(N3 > 49).
Calculando o Z-score:
Z = 49 - 474 = 24 = 0,5
Usando a tabela, P(Z <= 0,5) approx 0,6915. Logo:
P(N3 > 49) = 1 - 0,6915 = 0,3085 ou 30,85%

Passo 5

Item d): Qual a probabilidade de o servidor 1 precisar de manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
Isso significa P(42 < N1 < 47). Usando a média mu1 = 42 e sigma1 = 6.
Calculamos os Z-scores:
Para 42:
Z1 = 42 - 426 = 0
Para 47:
Z2 = 47 - 426 = 56 approx 0,8333
Consultando a tabela:
P(Z <= 0) = 0,5
P(Z <= 0,83) approx 0,7967
Então:
P(42 < N1 < 47) = 0,7967 - 0,5 = 0,2967 ou 29,67%

Passo 6

Item e): Qual a probabilidade de o servidor 2 precisar de manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
Aqui, para o servidor 2 com mu2 = 45 e sigma2 = 3, queremos P(42 < N2 < 47).
Calculamos os Z-scores:
Para 42:
Z1 = 42 - 453 = -33 = -1
Para 47:
Z2 = 47 - 453 = 23 approx 0,6667
Consultando a tabela:
P(Z <= -1) approx 0,1587
P(Z <= 0,67) approx 0,7486
Então:
P(42 < N2 < 47) = 0,7486 - 0,1587 = 0,5899 ou 58,99%

Passo 7

Item f): Qual a probabilidade de o servidor 3 precisar de manutenção entre os próximos 42 e 47 dias?
Para o servidor 3 com mu3 = 47 e sigma3 = 4, queremos P(42 < N3 < 47).
Calculamos os Z-scores:
Para 42:
Z1 = 42 - 474 = -54 = -1,25
Para 47:
Z2 = 47 - 474 = 0
Consultando a tabela:
P(Z <= -1,25) approx 0,1056
P(Z <= 0) = 0,5
Então:
P(42 < N3 < 47) = 0,5 - 0,1056 = 0,3944 ou 39,44%

Passo 8

Item g): Baseado nas respostas dos itens (d) a (f), é possível dizer que em algum momento, entre os próximos 42 e 47 dias, o provedor não estará no ar (sem servidores disponíveis)?
Vamos analisar as probabilidades de cada servidor precisar de manutenção nesse intervalo:
  • Servidor 1: 29,67%
  • Servidor 2: 58,99%
  • Servidor 3: 39,44%
Para que o provedor não esteja no ar, todos os três servidores precisariam estar em manutenção ao mesmo tempo, ou seja, a interseção dos eventos. Assumindo independência (o que geralmente se assume em problemas assim), calculamos:
P(Todos os três) = P(N1 entre 42 e 47) times P(N2 entre 42 e 47) times P(N3 entre 42 e 47) ê
= 0,2967 times 0,5899 times 0,3944 approx 0,0693 ou 6,93%
Isso indica que há cerca de 6,93% de chance de, simultaneamente, os três servidores estarem em manutenção entre 42 e 47 dias, ou seja, o provedor estaria sem servidores disponíveis nesse período.

Resposta

a) 30,85%
b) 25,14%
c) 30,85%
d) 29,67%
e) 58,99%
f) 39,44%
g) Existe aproximadamente 6,93% de chance de o provedor não estar no ar entre os próximos 42 e 47 dias.

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