Uma empresa possui um banco de dados com 1000 clientes, sendo 300 deles inadimplentes. Selecionando-se aleatoriamente uma amostra de 20 clientes.
a) Qual a probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa que tem um banco de dados com 1000 clientes, dos quais 300 estão inadimplentes. A gente vai selecionar, de forma aleatória, uma amostra de 20 clientes. A pergunta é: qual a probabilidade de, nessa amostra, encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes?
Aqui, estamos lidando com probabilidade, mais especificamente com distribuições de probabilidade que lidam com amostras de uma população finita. Vamos precisar usar a Distribuição Hipergeométrica para resolver isso, já que estamos lidando com uma população finita sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os elementos que temos:
  • N (tamanho da população total) = 1000 clientes
  • K (número de clientes inadimplentes na população) = 300
  • n (tamanho da amostra) = 20 clientes
  • k (número de clientes inadimplentes na amostra) = até 10
A Distribuição Hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos (neste caso, clientes inadimplentes) em uma amostra de tamanho n, sem reposição, de uma população onde existem K sucessos.
A fórmula da Distribuição Hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinomKk times dbinomN-Kn-kdbinomNn
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula combinações de a elementos tomados b de cada vez.

Passo 3

Como a pergunta é sobre a probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra, precisamos calcular a soma das probabilidades de encontrar de 0 até 10 inadimplentes. Ou seja:
P(X <= 10) = sumk=0^10 P(X = k)
Isso significa que vamos somar todas as probabilidades individuais de encontrar 0, 1, 2, …, até 10 clientes inadimplentes na amostra de 20.

Passo 4

Vamos calcular um exemplo para entender melhor. Suponha que queremos calcular a probabilidade de encontrar exatamente 5 inadimplentes na amostra ( P(X = 5) = dbinom3005 times dbinom70015dbinom100020 ):
Aqui, representa as combinações de 5 inadimplentes entre os 300 disponíveis, e representa as combinações dos 15 clientes bons entre os 700 que não estão inadimplentes. O denominador é o total de combinações possíveis de escolher 20 clientes entre 1000.

Passo 5

Para calcular , precisaríamos fazer esse cálculo para todos os valores de de 0 a 10 e somar os resultados. No entanto, isso pode ser bastante trabalhoso manualmente. Por isso, geralmente usamos ferramentas como calculadoras científicas, planilhas eletrônicas ou softwares estatísticos que têm funções prontas para calcular distribuições hipergeométricas acumuladas.

Passo 6

Como uma aproximação, especialmente quando a população é grande e a amostra é relativamente pequena, podemos usar a Distribuição Binomial. A Distribuição Binomial é mais simples e pode dar uma boa estimativa nesse caso.
A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = dbinomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • (tamanho da amostra)
  • varia de 0 a 10
  • (probabilidade de sucesso, ou seja, ser inadimplente)

Passo 7

Usando a Distribuição Binomial, a probabilidade de encontrar no máximo 10 inadimplentes é:
P(X <= 10) = sumk=0^10 dbinom20k times 0.3^k times 0.7^20 - k
Esse valor pode ser calculado usando uma calculadora científica ou software que permita somar essas probabilidades.

Passo 8

Após realizar os cálculos (usando uma calculadora ou software):
A probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra de 20 é aproximadamente 0,998 ou 99,8%.

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra de 20 é de aproximadamente 99,8%.

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