Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas:
e
. A produção de
é 2 vezes a de
, e a de
é 2 vezes a de B. O produto X é armazenado em um depósito central. As proporçães de produção defeituosa são: 5% de
de B e
de C. Retira-se uma unidade de
do depósito e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricado por
?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Uma empresa fabrica o produto X em três fábricas diferentes: A, B e C. A produção da fábrica A é 2 vezes a de B, e a produção da fábrica C também é 2 vezes a de B. As porcentagens de produtos defeituosos são 5% em A, 3% em B e 4% em C. Se retirarmos uma unidade defeituosa do depósito central, queremos saber qual a probabilidade de ela ter sido fabricada pela fábrica B.
Para resolver este problema, vamos utilizar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar a probabilidade reversa com base em informações condicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as proporções de produção de cada fábrica. Sabemos que:
- Produção de A: 2 vezes a de B
- Produção de C: 2 vezes a de B
Vamos chamar a produção de B de
. Assim:
- Produção de A:
- Produção de C:
A produção total será:
Portanto, as probabilidades de uma unidade ser produzida por cada fábrica são:
Passo 3
Agora, vamos considerar as probabilidades de um produto ser defeituoso em cada fábrica:
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de a unidade defeituosa ter sido fabricada pela fábrica B, ou seja,
.
Segundo o Teorema de Bayes:
Onde
é a probabilidade total de um produto ser defeituoso, calculada pela soma das probabilidades condicionais de defeito em cada fábrica multiplicadas pela probabilidade de produção de cada fábrica:
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de que a unidade defeituosa tenha sido fabricada pela fábrica B é aproximadamente 14,29%.
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Aqueles motoristas que estiveram abaixo de
da média do grupo serão convidados a se explicarem; e os que estiverem acima de
da média do grupo, receberão um abono em dinheiro. Para tanto a transportadora selecionou 25 motoristas, ao acaso, e registrou o volume (em toneladas) semanal transportado. Os dados estão na tabela abaixo:
Funcionário | Volume | Funcionário | Volume |
---|---|---|---|
1. | 8,6 | 14. | 8,6 |
2. | 7,0 | 15. | 8,6 |
3. | 8,0 | 16. | 9,5 |
4. | 8,6 | 17. | 6,3 |
5. | 8,0 | 18. | 7,6 |
6. | 8,5 | 19. | 6,8 |
7. | 8,2 | 20. | 7,5 |
8. | 7,5 | 21. | 7,7 |
9. | 9,4 | 22. | 8,7 |
10. | 7,9 | 23. | 7,3 |
11. | 8,6 | 24. | 8,5 |
12. | 8,3 | 25. | 7,0 |
13. | 7,0 |
a) Interprete o significado de
na expressão acima;
b) Algum motorista será convidado a se explicar? Ou ganhará o abano? Justifique a sua resposta.
b) Algum motorista será convidado a se explicar? Ou ganhará o abano? Justifique a sua resposta.