Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas: A, B e C. A produção de A é 2 vezes a de B, e a de C é 2 vezes a de B. O produto X é armazenado em um depósito central. As proporçães de produção defeituosa são: 5% de A, 3 % de B e 4 % de C. Retira-se uma unidade de X do depósito e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricado por B ?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Uma empresa fabrica o produto X em três fábricas diferentes: A, B e C. A produção da fábrica A é 2 vezes a de B, e a produção da fábrica C também é 2 vezes a de B. As porcentagens de produtos defeituosos são 5% em A, 3% em B e 4% em C. Se retirarmos uma unidade defeituosa do depósito central, queremos saber qual a probabilidade de ela ter sido fabricada pela fábrica B.
Para resolver este problema, vamos utilizar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar a probabilidade reversa com base em informações condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as proporções de produção de cada fábrica. Sabemos que:
  • Produção de A: 2 vezes a de B
  • Produção de C: 2 vezes a de B
Vamos chamar a produção de B de 2p + p + 2p = 5p . Assim:
  • Produção de A: P(A) = 2p5p = 25
  • Produção de C: P(B) = p5p = 15
A produção total será:
P(C) = 2p5p = 25
Portanto, as probabilidades de uma unidade ser produzida por cada fábrica são:

Passo 3

Agora, vamos considerar as probabilidades de um produto ser defeituoso em cada fábrica:
P(D|A) = 5% = 0,05
P(D|B) = 3% = 0,03
P(D|C) = 4% = 0,04

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de a unidade defeituosa ter sido fabricada pela fábrica B, ou seja, P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D) .
Segundo o Teorema de Bayes:
P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C)
Onde é a probabilidade total de um produto ser defeituoso, calculada pela soma das probabilidades condicionais de defeito em cada fábrica multiplicadas pela probabilidade de produção de cada fábrica:

Passo 5

Vamos calcular P(D) = (0,05) cdot (25) + (0,03) cdot (15) + (0,04) cdot (25) :
P(D) = 0,05 cdot 0,4 + 0,03 cdot 0,2 + 0,04 cdot 0,4
P(D) = 0,02 + 0,006 + 0,016
P(D) = 0,042

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Bayes para encontrar P(B|D) = 0,03 cdot 150,042 :
P(B|D) = 0,0060,042
P(B|D) = 642
P(B|D) = 17
P(B|D) approx 0,1429

Resposta

A probabilidade de que a unidade defeituosa tenha sido fabricada pela fábrica B é aproximadamente 14,29%.

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