Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas:
e
. A produção de
é 2 vezes a de
, e a de
é 2 vezes a de B. O produto X é armazenado em um depósito central. As proporçães de produção defeituosa são: 5% de
de B e
de C. Retira-se uma unidade de
do depósito e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricado por
?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Uma empresa fabrica o produto X em três fábricas diferentes: A, B e C. A produção da fábrica A é 2 vezes a de B, e a produção da fábrica C também é 2 vezes a de B. As porcentagens de produtos defeituosos são 5% em A, 3% em B e 4% em C. Se retirarmos uma unidade defeituosa do depósito central, queremos saber qual a probabilidade de ela ter sido fabricada pela fábrica B.
Para resolver este problema, vamos utilizar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar a probabilidade reversa com base em informações condicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as proporções de produção de cada fábrica. Sabemos que:
- Produção de A: 2 vezes a de B
- Produção de C: 2 vezes a de B
Vamos chamar a produção de B de
. Assim:
- Produção de A:
- Produção de C:
A produção total será:
Portanto, as probabilidades de uma unidade ser produzida por cada fábrica são:
Passo 3
Agora, vamos considerar as probabilidades de um produto ser defeituoso em cada fábrica:
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de a unidade defeituosa ter sido fabricada pela fábrica B, ou seja,
.
Segundo o Teorema de Bayes:
Onde
é a probabilidade total de um produto ser defeituoso, calculada pela soma das probabilidades condicionais de defeito em cada fábrica multiplicadas pela probabilidade de produção de cada fábrica:
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de que a unidade defeituosa tenha sido fabricada pela fábrica B é aproximadamente 14,29%.