Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas: e . A produção de é 2 vezes a de , e a de é 2 vezes a de B. O produto X é armazenado em um depósito central. As proporçães de produção defeituosa são: 5% de de B e de C. Retira-se uma unidade de do depósito e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricado por ?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Uma empresa fabrica o produto X em três fábricas diferentes: A, B e C. A produção da fábrica A é 2 vezes a de B, e a produção da fábrica C também é 2 vezes a de B. As porcentagens de produtos defeituosos são 5% em A, 3% em B e 4% em C. Se retirarmos uma unidade defeituosa do depósito central, queremos saber qual a probabilidade de ela ter sido fabricada pela fábrica B.
Para resolver este problema, vamos utilizar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar a probabilidade reversa com base em informações condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as proporções de produção de cada fábrica. Sabemos que:
  • Produção de A: 2 vezes a de B
  • Produção de C: 2 vezes a de B
Vamos chamar a produção de B de . Assim:
  • Produção de A:
  • Produção de C:
A produção total será:
Portanto, as probabilidades de uma unidade ser produzida por cada fábrica são:

Passo 3

Agora, vamos considerar as probabilidades de um produto ser defeituoso em cada fábrica:

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de a unidade defeituosa ter sido fabricada pela fábrica B, ou seja, .
Segundo o Teorema de Bayes:
Onde é a probabilidade total de um produto ser defeituoso, calculada pela soma das probabilidades condicionais de defeito em cada fábrica multiplicadas pela probabilidade de produção de cada fábrica:

Passo 5

Vamos calcular :

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Bayes para encontrar :

Resposta

A probabilidade de que a unidade defeituosa tenha sido fabricada pela fábrica B é aproximadamente 14,29%.

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éã
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Funcionário Volume Funcionário Volume
1. 8,6 14. 8,6
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3. 8,0 16. 9,5
4. 8,6 17. 6,3
5. 8,0 18. 7,6
6. 8,5 19. 6,8
7. 8,2 20. 7,5
8. 7,5 21. 7,7
9. 9,4 22. 8,7
10. 7,9 23. 7,3
11. 8,6 24. 8,5
12. 8,3 25. 7,0
13. 7,0
a) Interprete o significado de na expressão acima;
b) Algum motorista será convidado a se explicar? Ou ganhará o abano? Justifique a sua resposta.