Um fabricante de capacitores está interessado em implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produção. Como parte desse sistema de qualidade, ficou decidido registrar o número de capacitores fora da conformidade, por batelada de produção, cujo tamanho é igual a 50 . Durante 40 dias consecutivos de produção, 40 bateladas de dados foram coletadas, cujos dados estão descritos abaixo:
3 4 4 4 4 5 5 5 6 6
6 6 7 7 7 7 7 7 8 8
8 8 9 9 9 11 11 11 12 12
12 13 13 14 15 17 17 18 19 19
a) Determine número médio, modal e mediana de capacitores fora das especificações.
b) A variabilidade do número de não conformidades é um indicador de qualidade do processo. Caso essa variabilidade em torno da média seja menor que 20 %, o processo é dito está sobre controle. Verifique esta condição.
c) Elabore uma distribuição de frequências com 6 classes, fechadas no limite inferior e com amplitude h=3.
d) Com base no item

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dados sobre a produção de capacitores e precisa analisar algumas medidas estatísticas para entender a qualidade do processo. Vamos precisar calcular a média, moda e mediana dos capacitores fora das especificações, verificar a variabilidade do processo e elaborar uma distribuição de frequências. Vamos lá!

Passo 2

Item a) Determinar número médio, modal e mediana de capacitores fora das especificações.
Primeiro, vamos calcular a média. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
Média = sum xin é
Onde Média = 21240 = 5,3 é a soma de todos os capacitores fora das especificações e Mediana = 8 + 82 = 8 é o número total de bateladas.
Vamos somar todos os valores:
3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 9 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14 + 15 + 17 + 17 + 18 + 19 + 19
A soma é 212.
Agora, dividimos pela quantidade de bateladas, que são 40.
é
Moda é o valor que mais se repete na distribuição. Observando os dados, o número que aparece com maior frequência é 7.
Mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Como temos 40 valores, a mediana será a média dos 20º e 21º valores.
Vamos ordenar os dados e encontrar esses valores:
  1. Ordenando: 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 17, 17, 18, 19, 19
  2. 20º valor: 8
  3. 21º valor: 8

Passo 3

Item b) Verificar se a variabilidade em torno da média é menor que 20%.
Para medir a variabilidade, vamos calcular o desvio padrão. O desvio padrão nos mostra o quanto os dados estão dispersos em relação à média.
Primeiro, calculamos a variância:
Variância = sum (xi - média)^2n âé
Vamos calcular cada (3 - 5,3)^2 = 5,29 :
(4 - 5,3)^2 = 1,69 (repetido 4 vezes)
(5 - 5,3)^2 = 0,09 (repetido 3 vezes)
(6 - 5,3)^2 = 0,49 (repetido 4 vezes)
(7 - 5,3)^2 = 2,89 (repetido 6 vezes)
(8 - 5,3)^2 = 7,29 (repetido 4 vezes)
(9 - 5,3)^2 = 13,69 (repetido 3 vezes)
(11 - 5,3)^2 = 31,36 (repetido 3 vezes)
(12 - 5,3)^2 = 45,29 (repetido 3 vezes)
(13 - 5,3)^2 = 59,29 (repetido 2 vezes)
(14 - 5,3)^2 = 76,96
(15 - 5,3)^2 = 94,09
(17 - 5,3)^2 = 136,89 (repetido 2 vezes)
(18 - 5,3)^2 = 160,84
(19 - 5,3)^2 = 189,64 (repetido 2 vezes)
Soma = 5,29 + (1,69 times 4) + (0,09 times 3) + (0,49 times 4) + (2,89 times 6) + (7,29 times 4) + (13,69 times 3) + (31,36 times 3) + (45,29 times 3) + (59,29 times 2) + 76,96 + 94,09 + (136,89 times 2) + 160,84 + (189,64 times 2)
Somando todos esses valores:
5,29 + 6,76 + 0,27 + 1,96 + 17,34 + 29,16 + 41,07 + 94,08 + 135,87 + 118,58 + 76,96 + 94,09 + 273,78 + 160,84 + 379,28 = 1265,11
Calculando:
Variância = 1265,1140 = 31,63
Agora, a variância:
Desvio Padrão = raiz31,63 approx 5,62 â
Desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
20% da média = 0,20 times 5,3 = 1,06 ã
Agora, verificamos se a variabilidade em torno da média é menor que 20%. Calculamos 20% da média:
5,62 > 1,06 é
Comparando com o desvio padrão:
Então, a variabilidade é maior que 20%.

Passo 4

Item c) Elaborar uma distribuição de frequências com 6 classes, fechadas no limite inferior e com amplitude h=3.
Primeiro, identificamos o valor mínimo e o valor máximo dos dados.
  • Mínimo: 3
  • Máximo: 19
Agora, determinamos o número de classes (6) e a amplitude de cada classe (h = 3).
Vamos criar as classes iniciando no menor valor (3) e adicionando a amplitude:
  1. 3 a 5
  2. 6 a 8
  3. 9 a 11
  4. 12 a 14
  5. 15 a 17
  6. 18 a 20
Agora, contamos quantos dados caem em cada classe:
Classe Intervalo Frequência
1 3 - 5 1 (3) + 4 (4) + 3 (5) = 8
2 6 - 8 4 (6) + 6 (7) + 4 (8) = 14
3 9 - 11 3 (9) + 3 (11) = 6
4 12 - 14 3 (12) + 2 (13) + 1 (14) = 6
5 15 - 17 1 (15) + 2 (17) = 3
6 18 - 20 1 (18) + 2 (19) = 3

Resposta

a) Média = 5,3; Moda = 7; Mediana = 8.
b) A variabilidade é de aproximadamente 5,62, o que é maior que 20% da média (1,06). Portanto, o processo não está sob controle.
c) Distribuição de frequências:
Classe Intervalo Frequência
1 3 - 5 8
2 6 - 8 14
3 9 - 11 6
4 12 - 14 6
5 15 - 17 3
6 18 - 20 3

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