Uma transportadora quer definir um plano para a premiação de seus motoristas com relação ao volume transportado de mercadorias. Esse plano será baseado na seguinte fórmula:
éã
Aqueles motoristas que estiveram abaixo de da média do grupo serão convidados a se explicarem; e os que estiverem acima de da média do grupo, receberão um abono em dinheiro. Para tanto a transportadora selecionou 25 motoristas, ao acaso, e registrou o volume (em toneladas) semanal transportado. Os dados estão na tabela abaixo:
Funcionário Volume Funcionário Volume
1. 8,6 14. 8,6
2. 7,0 15. 8,6
3. 8,0 16. 9,5
4. 8,6 17. 6,3
5. 8,0 18. 7,6
6. 8,5 19. 6,8
7. 8,2 20. 7,5
8. 7,5 21. 7,7
9. 9,4 22. 8,7
10. 7,9 23. 7,3
11. 8,6 24. 8,5
12. 8,3 25. 7,0
13. 7,0
a) Interprete o significado de na expressão acima;
b) Algum motorista será convidado a se explicar? Ou ganhará o abano? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transportadora que quer premiar seus motoristas com base no volume de mercadorias que eles transportam. Para isso, eles estão usando uma fórmula que calcula o escore Z de cada motorista. O conteúdo que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente média, desvio padrão e escore Z. Vamos precisar calcular a média dos volumes transportados, o desvio padrão desses volumes e, com isso, determinar se algum motorista está muito acima ou muito abaixo da média, o que vai determinar se ele recebe um abono ou precisa se explicar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média (M) dos volumes transportados pelos 25 motoristas. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores. Então, vamos somar todos os volumes e dividir por 25.
Os volumes são:
8,6; 7,0; 8,0; 8,6; 8,0; 8,5; 8,2; 7,5; 9,4; 7,9; 8,6; 8,3; 7,0; 8,6; 8,6; 9,5; 6,3; 7,6; 6,8; 7,5; 7,7; 8,7; 7,3; 8,5; 7,0.
Vamos somar esses números:
8,6 + 7,0 + 8,0 + 8,6 + 8,0 + 8,5 + 8,2 + 7,5 + 9,4 + 7,9 + 8,6 + 8,3 + 7,0 + 8,6 + 8,6 + 9,5 + 6,3 + 7,6 + 6,8 + 7,5 + 7,7 + 8,7 + 7,3 + 8,5 + 7,0 = 190,3 toneladas
Agora, vamos dividir pela quantidade de motoristas:
Média (M) = 190,3 / 25 = 7,612 toneladas

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio-padrão (DP) dos volumes. O desvio-padrão mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula do desvio-padrão é:
Onde:
  • são os valores individuais,
  • é a média,
  • é o número de valores.
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
  1. (8,6 - 7,612)² = 0,988² = 0,976
  2. (7,0 - 7,612)² = (-0,612)² = 0,374
  3. (8,0 - 7,612)² = 0,388² = 0,150
  4. (8,6 - 7,612)² = 0,988² = 0,976
  5. (8,0 - 7,612)² = 0,388² = 0,150
  6. (8,5 - 7,612)² = 0,888² = 0,788
  7. (8,2 - 7,612)² = 0,588² = 0,346
  8. (7,5 - 7,612)² = (-0,112)² = 0,013
  9. (9,4 - 7,612)² = 1,788² = 3,198
  10. (7,9 - 7,612)² = 0,288² = 0,083
  11. (8,6 - 7,612)² = 0,988² = 0,976
  12. (8,3 - 7,612)² = 0,688² = 0,473
  13. (7,0 - 7,612)² = (-0,612)² = 0,374
  14. (8,6 - 7,612)² = 0,988² = 0,976
  15. (8,6 - 7,612)² = 0,988² = 0,976
  16. (9,5 - 7,612)² = 1,888² = 3,561
  17. (6,3 - 7,612)² = (-1,312)² = 1,724
  18. (7,6 - 7,612)² = (-0,012)² = 0,000
  19. (6,8 - 7,612)² = (-0,812)² = 0,659
  20. (7,5 - 7,612)² = (-0,112)² = 0,013
  21. (7,7 - 7,612)² = 0,088² = 0,008
  22. (8,7 - 7,612)² = 1,088² = 1,183
  23. (7,3 - 7,612)² = (-0,312)² = 0,098
  24. (8,5 - 7,612)² = 0,888² = 0,788
  25. (7,0 - 7,612)² = (-0,612)² = 0,374
Agora, somamos todos esses valores:
0,976 + 0,374 + 0,150 + 0,976 + 0,150 + 0,788 + 0,346 + 0,013 + 3,198 + 0,083 + 0,976 + 0,473 + 0,374 + 0,976 + 0,976 + 3,561 + 1,724 + 0,000 + 0,659 + 0,013 + 0,008 + 1,183 + 0,098 + 0,788 + 0,374 = 16,828
Agora, dividimos por 25 e tiramos a raiz quadrada:

Passo 4

Com a média e o desvio-padrão calculados, podemos agora determinar o escore Z para cada motorista usando a fórmula:
Onde:
  • é o volume transportado pelo motorista,
  • toneladas,
  • toneladas.
Vamos calcular o Z para cada motorista:

Passo 5

Agora que temos os escores Z de cada motorista, vamos analisar quem está abaixo de -2 DP ou acima de +2 DP da média.
  • Abaixo de -2 DP (Z < -2): Isso significa que o motorista transportou menos do que a média menos duas vezes o desvio-padrão. Nesse caso, nenhum motorista tem um Z menor que -2 (-0,746 é o menor).
  • Acima de +2 DP (Z > 2): Significa que o motorista transportou mais do que a média mais duas vezes o desvio-padrão. Observando nossos cálculos, os motoristas 9 e 16 têm Z ≈ 2,179 e 2,301, respectivamente, que são maiores que 2.

Resposta

a) O escore calcula quantos desvios-padrão o volume transportado por um motorista está acima ou abaixo da média do grupo. Ele nos ajuda a identificar motoristas com desempenho significativamente diferente da média.
b) Sim, dois motoristas serão convidados a receber um abono em dinheiro por transportarem volumes significativamente acima da média. Os motoristas 9 e 16 têm escores Z superiores a +2, indicando que transportaram mais do que a média mais duas vezes o desvio-padrão. Nenhum motorista ficou abaixo de -2 desvios-padrão, então ninguém será solicitado a se explicar.

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