Uma empresa produz o produto
em 3 fábricas distintas:
e
. A produção de
é 2 vezes a de B, e a de
é 2 vezes a de B. O produto X é armazenado em um depósito central. As proporções de produção defeituosa são: 5% de
de B e
de C. Retira-se uma unidade de X do depósito e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricado por
?
Passo 1
Vamos resumir a questão: Temos uma empresa que fabrica o produto
em três fábricas diferentes:
,
e
. A produção de
é duas vezes a de
, e a de
também é duas vezes a de
. Cada fábrica tem uma certa porcentagem de produtos defeituosos:
de
,
de
e
de
. Sabemos que um produto retirado do depósito central é defeituoso, e queremos descobrir a probabilidade de que ele tenha sido fabricado pela fábrica
.
Isso envolve conceitos de probabilidade, especificamente o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais. Vamos precisar calcular a probabilidade total de retirar um produto defeituoso e então usar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar as proporções de produção de cada fábrica. Sabemos que:
- Produção de
= produção de - Produção de
= produção de
Vamos chamar a produção de
de
. Então:
- Produção de
= - Produção de
=
A produção total é:
Portanto, a fração de produção de cada fábrica é:
- Fábrica
: - Fábrica
: - Fábrica
:
Passo 3
Agora, vamos considerar as probabilidades de um produto ser defeituoso de cada fábrica:
- Probabilidade de defeito em
: - Probabilidade de defeito em
: - Probabilidade de defeito em
:
Queremos encontrar a probabilidade de o produto defeituoso ter vindo de
, ou seja,
, onde
representa um defeito.
Passo 4
Para encontrar
, vamos usar o Teorema de Bayes, que é dado por:
Onde:
-
é a probabilidade de um produto ser defeituoso dado que veio de ( ). -
é a probabilidade de um produto ser produzido por ( ). -
é a probabilidade total de um produto ser defeituoso.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular
, a probabilidade total de um produto ser defeituoso. Isso leva em conta todas as fábricas:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então,
.
Passo 6
Agora, podemos usar o Teorema de Bayes para encontrar
:
Calculando:
Resposta
A probabilidade de que o produto defeituoso tenha sido fabricado pela fábrica
é aproximadamente
.