Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas: A, B e C. A produção de A é 2 vezes a de B, e a de C é 2 vezes a de B. O produto X é armazenado em um depósito central. As proporções de produção defeituosa são: 5% de A, 3 % de B e 4 % de C. Retira-se uma unidade de X do depósito e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricado por B ?

Passo 1

Vamos resumir a questão: Temos uma empresa que fabrica o produto em três fábricas diferentes: , e . A produção de é duas vezes a de , e a de também é duas vezes a de . Cada fábrica tem uma certa porcentagem de produtos defeituosos: de , de e de . Sabemos que um produto retirado do depósito central é defeituoso, e queremos descobrir a probabilidade de que ele tenha sido fabricado pela fábrica .
Isso envolve conceitos de probabilidade, especificamente o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais. Vamos precisar calcular a probabilidade total de retirar um produto defeituoso e então usar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar as proporções de produção de cada fábrica. Sabemos que:
  • Produção de Produção total = 2x + x + 2x = 5x = produção de
  • Produção de = produção de
Vamos chamar a produção de de . Então:
  • Produção de =
  • Produção de =
A produção total é:
çã
Portanto, a fração de produção de cada fábrica é:
  • Fábrica :
  • Fábrica :
  • Fábrica :

Passo 3

Agora, vamos considerar as probabilidades de um produto ser defeituoso de cada fábrica:
  • Probabilidade de defeito em :
  • Probabilidade de defeito em :
  • Probabilidade de defeito em :
Queremos encontrar a probabilidade de o produto defeituoso ter vindo de , ou seja, , onde representa um defeito.

Passo 4

Para encontrar P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D) , vamos usar o Teorema de Bayes, que é dado por:
Onde:
  • é a probabilidade de um produto ser defeituoso dado que veio de ( ).
  • é a probabilidade de um produto ser produzido por ( ).
  • é a probabilidade total de um produto ser defeituoso.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C) , a probabilidade total de um produto ser defeituoso. Isso leva em conta todas as fábricas:
P(D) = (0.05) cdot (25) + (0.03) cdot (15) + (0.04) cdot (25)
Substituindo os valores:
P(D) = 0.05 times 0.4 + 0.03 times 0.2 + 0.04 times 0.4
Calculando cada termo:
P(D) = 0.02 + 0.006 + 0.016
P(D) = 0.042
Então, .

Passo 6

Agora, podemos usar o Teorema de Bayes para encontrar P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D) = 0.03 times 150.042 :
P(B|D) = 0.03 times 0.20.042 = 0.0060.042 approx 0.1429
Calculando:

Resposta

A probabilidade de que o produto defeituoso tenha sido fabricado pela fábrica é aproximadamente .

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