Uma máquina é projetada para fazer esferas de aço de 1 cm de raio. Uma amostra de 10 esferas é produzida, e tem raio médio de . Há razões para suspeitar que a máquina esteja produzindo esferas com raio maior que 1 cm ? (Use um nível de significância de ). (Resposta: - rejeita-se )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma máquina que deveria produzir esferas de aço com raio de 1 cm. Foi feita uma amostra de 10 esferas e descobriu-se que o raio médio delas é de 1,004 cm, com um desvio padrão de 0,003 cm. A pergunta é: será que a máquina está realmente produzindo esferas com raio maior que 1 cm? Vamos usar a estatística para descobrir isso, especificamente o teste t, com um nível de significância de 10%.

Passo 2

Primeiro, precisamos formular as hipóteses para o nosso teste. A hipótese nula (H₀) é que o raio médio das esferas produzidas pela máquina é igual a 1 cm. A hipótese alternativa (H₁) é que o raio médio é maior que 1 cm. Em termos matemáticos:
  • H₀: μ = 1 cm
  • H₁: μ > 1 cm

Passo 3

Como estamos lidando com uma amostra pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para calcular o valor t é:
Onde:
  • é a média da amostra
  • é a média hipotética da população
  • é o desvio padrão da amostra
  • é o tamanho da amostra

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
  • cm
  • cm
  • cm
Então:

Passo 5

Agora, precisamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico da distribuição t para determinar se devemos rejeitar a hipótese nula. O nível de significância é de 10% (0,10) e estamos testando uma hipótese unilateral (já que queremos saber se o raio é maior).
Para n - 1 graus de liberdade (df = 9) e α = 0,10, o valor crítico t é aproximadamente 1,383.

Passo 6

Como o nosso t calculado (≈4,2164) é maior que o valor crítico (≈1,383), isso significa que há evidências estatísticas suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

– rejeita-se .

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