Um industrial deseja certificar-se de que a fração do mercado que prefere seu produto ao de seu concorrente é superior a 70%. Para tanto, colheu uma amostra aleatória de 165 opiniões, das quais 122 lhe foram favoráveis. Pode o industrial ficar satisfeito com esse resultado, adotado o nível de de significância? (Resposta: - não rejeita )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Um industrial quer saber se mais de 70% das pessoas preferem o seu produto em relação ao concorrente. Para isso, ele coletou uma amostra aleatória de 165 opiniões e descobriu que 122 foram favoráveis ao seu produto. Vamos usar estatística de teste para proporções e teste de hipótese para resolver esse problema. Precisaremos calcular a proporção observada, formular as hipóteses, calcular o valor da estatística de teste e comparar com o valor crítico para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção observada ( ) na amostra. Isso é simplesmente o número de opiniões favoráveis dividido pelo total de opiniões.
Então, aproximadamente 74% dos entrevistados preferem o produto do industrial.

Passo 3

Agora, vamos formular as hipóteses do teste. Queremos verificar se a proporção real de preferências é maior que 70%.
  • Hipótese nula ( ): (a proporção é 70% ou menos)
  • Hipótese alternativa ( ): (a proporção é maior que 70%)

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção, que nos ajuda a entender a variabilidade da amostra em relação à hipótese nula. A fórmula para o erro padrão ( ) é:

Passo 5

Em seguida, calculamos a estatística de teste usando a fórmula:

Passo 6

Agora, precisamos comparar o valor de com o valor crítico para um nível de significância de 5% ( ) em um teste unilateral (pois estamos verificando se é maior). O valor crítico para é aproximadamente 1,645.

Passo 7

Finalmente, comparamos com o valor crítico:
Como o valor de é menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

O valor observado da estatística é . Como este valor é menor que 1,645, não rejeitamos . Portanto, o industrial não pode ficar completamente satisfeito com esse resultado no nível de significância de 5%.

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