Um industrial deseja certificar-se de que a fração do mercado que prefere seu produto ao de seu concorrente é superior a 70%. Para tanto, colheu uma amostra aleatória de 165 opiniões, das quais 122 lhe foram favoráveis. Pode o industrial ficar satisfeito com esse resultado, adotado o nível de
de significância? (Resposta:
- não rejeita
)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Um industrial quer saber se mais de 70% das pessoas preferem o seu produto em relação ao concorrente. Para isso, ele coletou uma amostra aleatória de 165 opiniões e descobriu que 122 foram favoráveis ao seu produto. Vamos usar estatística de teste para proporções e teste de hipótese para resolver esse problema. Precisaremos calcular a proporção observada, formular as hipóteses, calcular o valor da estatística de teste
e comparar com o valor crítico para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção observada (
) na amostra. Isso é simplesmente o número de opiniões favoráveis dividido pelo total de opiniões.
Então, aproximadamente 74% dos entrevistados preferem o produto do industrial.
Passo 3
Agora, vamos formular as hipóteses do teste. Queremos verificar se a proporção real de preferências é maior que 70%.
- Hipótese nula (
): (a proporção é 70% ou menos) - Hipótese alternativa (
): (a proporção é maior que 70%)
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da proporção, que nos ajuda a entender a variabilidade da amostra em relação à hipótese nula. A fórmula para o erro padrão (
) é:
Passo 5
Em seguida, calculamos a estatística de teste
usando a fórmula:
Passo 6
Agora, precisamos comparar o valor de
com o valor crítico para um nível de significância de 5% (
) em um teste unilateral (pois estamos verificando se é maior). O valor crítico para
é aproximadamente 1,645.
Passo 7
Finalmente, comparamos
com o valor crítico:
Como o valor de
é menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
O valor observado da estatística é
. Como este valor é menor que 1,645, não rejeitamos
. Portanto, o industrial não pode ficar completamente satisfeito com esse resultado no nível de significância de 5%.