A fábrica A produziu 4000 lâmpadas e a fábrica B, 6000 lâmpadas. 80% das lâmpadas de A são boas, e 60% das de B são boas também. Escolhe-se uma lâmpada ao acaso das 10000 lâmpadas. QUal a probabilidade que:
(d) sendo defeituosa, tenha sido fabricada por B?

Passo 1

Vamos resumir o problema:
Temos duas fábricas, A e B, que produziram juntas 10.000 lâmpadas (A produziu 4.000 e B produziu 6.000). Sabemos que 80% das lâmpadas da fábrica A são boas e 60% das da fábrica B também são boas. Queremos descobrir a probabilidade de que, se uma lâmpada escolhida ao acaso for defeituosa, ela foi fabricada pela fábrica B.
Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de escolher uma lâmpada da fábrica A ou da fábrica B.
  • Total de lâmpadas: 10.000
  • Probabilidade de escolher uma lâmpada da fábrica A, P(A) = 400010000 = 0,4 : P(B) = 600010000 = 0,6
  • Probabilidade de escolher uma lâmpada da fábrica B, :

Passo 3

Agora, vamos determinar a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa, dado que ela veio de cada fábrica.
  • Probabilidade de uma lâmpada da fábrica A ser defeituosa, P(D|A) = 1 - 0,8 = 0,2 : P(D|B) = 1 - 0,6 = 0,4
  • Probabilidade de uma lâmpada da fábrica B ser defeituosa, :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade total de uma lâmpada ser defeituosa, P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) = 0,2 cdot 0,4 + 0,4 cdot 0,6 = 0,08 + 0,24 = 0,32 . Isso inclui lâmpadas defeituosas de ambas as fábricas.

Passo 5

Finalmente, usamos o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que uma lâmpada defeituosa venha da fábrica B, P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D) = 0,4 cdot 0,60,32 = 0,240,32 = 0,75 :

Resposta

A probabilidade é de 75% de que uma lâmpada defeituosa escolhida ao acaso tenha sido fabricada pela fábrica B.

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