Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita. Trata-se de um agrupamento de 15 pessoas tomadas 2 a 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa onde 15 funcionários estão concorrendo para dois cargos: diretor e vice-diretor financeiro. O objetivo aqui é descobrir de quantas maneiras diferentes podemos escolher essas duas pessoas. O assunto que vamos usar é permutação, que é uma forma de contabilizar as possibilidades quando a ordem importa. Pra resolver isso, vamos precisar entender como calcular permutações de um grupo de pessoas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma permutação. Quando a ordem das escolhas importa, a gente usa permutação. No nosso caso, escolher o diretor e o vice-diretor são escolhas distintas porque os cargos são diferentes. Então, não é a mesma coisa escolher a pessoa A para diretor e a pessoa B para vice-diretor do que a pessoa B para diretor e a pessoa A para vice-diretor.

Passo 3

A fórmula para calcular permutações de n elementos tomados k a k é:
P(n, k) = n!(n - k)!
Aqui, “n!” significa o fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até n. O “k” representa quantas pessoas queremos escolher, que nesse caso é 2 (diretor e vice-diretor).

Passo 4

Aplicando a fórmula com n = 15 e k = 2, temos:
P(15, 2) = 15!(15 - 2)! = 15!13!

Passo 5

Agora, vamos simplificar isso. Sabemos que:
15! = 15 times 14 times 13!
Então, substituindo na fórmula:
P(15, 2) = 15 times 14 times 13!13! = 15 times 14 = 210

Resposta

Portanto, existem 210 maneiras distintas de escolher o diretor e o vice-diretor financeiro dentre os 15 funcionários.

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