A posição de um objeto em movimento é representado pela função: S = f(t) = 1/(1+t), onde t é medido em segundos e s é representado em metros. Determine a velocidade e a rapidez após t=2.
a) 1/9 m/s.
b) ¼ m/s.
c) 1 m/s.
d) 7 m/s.
e) 9 m/s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento, onde a posição de um objeto é dada pela função $ S = f(t) = \frac{1}{1+t} $. Aqui, $ t $ é o tempo em segundos e $ S $ é a posição em metros. Precisamos descobrir a velocidade e a rapidez do objeto quando $ t = 2 $ segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade. Na física, velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado pela derivada da função posição $ S(t) $ em relação ao tempo $ t $. Então, para encontrar a velocidade, precisamos derivar $ S(t) = \frac{1}{1+t} $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ S(t) = \frac{1}{1+t} $. A derivada de $ \frac{1}{1+t} $ com respeito a $ t $ é:
S(t) = 11+t

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade no instante $ t = 2 $ segundos substituindo $ t $ na derivada que encontramos:
t = 2
A velocidade é negativa, indicando que o objeto está se movendo na direção negativa do eixo considerado.

Passo 5

A rapidez é o valor absoluto da velocidade, ou seja, sem considerar a direção. Então, a rapidez após $ t = 2 $ segundos é:
t = 2

Resposta

A rapidez após $ t = 2 $ segundos é 1/9 m/s. Portanto, a resposta correta é a) 1/9 m/s.

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