Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o número esperado de vértices para este será
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6?
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um poliedro convexo que tem 8 faces, todas triangulares. Nosso objetivo é descobrir quantos vértices esse poliedro tem. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que relaciona vértices, arestas e faces.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de Euler, que é:
Onde:
- $ V $ é o número de vértices,
- $ E $ é o número de arestas,
- $ F $ é o número de faces.
Na nossa questão, sabemos que $ F = 8 $.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir quantas arestas o poliedro tem. Como todas as faces são triangulares, cada face tem 3 arestas. Mas atenção: cada aresta é compartilhada por 2 faces. Então, para não contar a mesma aresta duas vezes, usamos a fórmula:
Substituindo $ F = 8 $:
Então, $ E = 12 $.
Passo 4
Agora, voltamos à fórmula de Euler para encontrar $ V $:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Resposta
O número de vértices esperado para o poliedro é 6. Portanto, a alternativa correta é a e) 6.