Uma empresa tem 03 fábricas produzindo a mesma mercadoria. A fábrica
produz
unidades , a
produz
unidades e a
produz
unidades, e seus custos de produção são
, respectivamente. Para atender a um pedido de 1100 unidades, como deve ser distribuída a produção entre as fábricas para minimizar o custo total de produção?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três fábricas (A, B e C) que produzem uma mercadoria com custos diferentes:
- Fábrica A: custo
para produzir unidades. - Fábrica B: custo
para produzir unidades. - Fábrica C: custo
para produzir unidades.
O objetivo é distribuir a produção total de 1100 unidades entre essas três fábricas de forma que o custo total seja minimizado. Vamos precisar usar conceitos de otimização e derivadas para encontrar essa distribuição ótima.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função de custo total
que queremos minimizar. Somamos os custos das três fábricas:
Simplificando:
Passo 3
Temos uma restrição: a soma das unidades produzidas pelas três fábricas deve ser 1100. Então:
Vamos usar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos expressar
:
Passo 4
Agora, substituímos
na função de custo
:
Precisamos expandir e simplificar essa expressão:
Passo 5
Para encontrar os valores de
e
que minimizam
, vamos derivar a função em relação a
e
e igualar a zero.
Primeiro, derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a equação (1) por 3 e a equação (2) por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a equação (2a) da (1a):
Passo 7
Com
, substituímos na equação (1):
Passo 8
Agora, encontramos
usando a restrição inicial:
Resposta
Para minimizar o custo total de produção, a distribuição ideal é:
- Fábrica A:
unidades - Fábrica B:
unidades - Fábrica C:
unidades