Uma empresa tem 03 fábricas produzindo a mesma mercadoria. A fábrica A produz x unidades , a B produz y unidades e a C produz z unidades, e seus custos de produção são (3x^2 + 200), (y^2 + 400), (2z^2 + 300), respectivamente. Para atender a um pedido de 1100 unidades, como deve ser distribuída a produção entre as fábricas para minimizar o custo total de produção?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três fábricas (A, B e C) que produzem uma mercadoria com custos diferentes:
  • Fábrica A: custo para produzir unidades.
  • Fábrica B: custo para produzir unidades.
  • Fábrica C: custo para produzir unidades.
O objetivo é distribuir a produção total de 1100 unidades entre essas três fábricas de forma que o custo total seja minimizado. Vamos precisar usar conceitos de otimização e derivadas para encontrar essa distribuição ótima.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função de custo total que queremos minimizar. Somamos os custos das três fábricas:
Simplificando:

Passo 3

Temos uma restrição: a soma das unidades produzidas pelas três fábricas deve ser 1100. Então:
Vamos usar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos expressar :

Passo 4

Agora, substituímos na função de custo :
Precisamos expandir e simplificar essa expressão:

Passo 5

Para encontrar os valores de e que minimizam , vamos derivar a função em relação a e e igualar a zero.
Primeiro, derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a equação (1) por 3 e a equação (2) por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a equação (2a) da (1a):

Passo 7

Com , substituímos na equação (1):

Passo 8

Agora, encontramos usando a restrição inicial:

Resposta

Para minimizar o custo total de produção, a distribuição ideal é:
  • Fábrica A: unidades
  • Fábrica B: unidades
  • Fábrica C: unidades

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