Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita a um custo de para o material. O custo do material para a base é o decímetro quadrado, e o material para os lados custa o decímetro quadrado. Ache as dimensões da caixa com volume máximo que pode ser feita.

Passo 1

Então, a gente tem que fazer uma caixa retangular sem tampa gastando no total $10 com o material. O material da base custa $0,15 por decímetro quadrado e os lados custam $0,30 por decímetro quadrado. Nosso desafio aqui é descobrir quais devem ser as dimensões dessa caixa para que o volume dela seja o maior possível, sem ultrapassar esse orçamento de $10.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o comprimento da base da caixa.
  • Seja a largura da base da caixa.
  • Seja a altura da caixa.
Como a caixa é retangular e sem tampa, temos uma base e quatro lados.

Passo 3

Vamos calcular o custo total dos materiais. O custo da base é dado por:
E o custo dos quatro lados:
  • Dois lados medem cada.
  • Dois lados medem cada.
Então, o custo total dos lados é:

Passo 4

Como o custo total é $10, temos:
Queremos maximizar o volume da caixa, que é:

Passo 5

Vamos expressar em função de e a partir da equação do custo:

Passo 6

Substituímos na fórmula do volume:
Para simplificar, vamos assumir que a base é quadrada, ou seja, . Isso facilita os cálculos e geralmente resulta no volume máximo.

Passo 7

Assumindo , a equação do custo fica:

Passo 8

O volume em função de é:

Passo 9

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, calculamos a derivada de em relação a e igualamos a zero:
í

Passo 10

Como , então:
í
E para :
í

Resposta

As dimensões da caixa com volume máximo são aproximadamente:
  • Comprimento : 4,714 decímetros
  • Largura : 4,714 decímetros
  • Altura : 1,178 decímetros

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
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