Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita a um custo de
para o material. O custo do material para a base é
o decímetro quadrado, e o material para os lados custa
o decímetro quadrado. Ache as dimensões da caixa com volume máximo que pode ser feita.
Passo 1
Então, a gente tem que fazer uma caixa retangular sem tampa gastando no total $10 com o material. O material da base custa $0,15 por decímetro quadrado e os lados custam $0,30 por decímetro quadrado. Nosso desafio aqui é descobrir quais devem ser as dimensões dessa caixa para que o volume dela seja o maior possível, sem ultrapassar esse orçamento de $10.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o comprimento da base da caixa. - Seja
a largura da base da caixa. - Seja
a altura da caixa.
Como a caixa é retangular e sem tampa, temos uma base e quatro lados.
Passo 3
Vamos calcular o custo total dos materiais. O custo da base é dado por:
E o custo dos quatro lados:
- Dois lados medem
cada. - Dois lados medem
cada.
Então, o custo total dos lados é:
Passo 4
Como o custo total é $10, temos:
Queremos maximizar o volume
da caixa, que é:
Passo 5
Vamos expressar
em função de
e
a partir da equação do custo:
Passo 6
Substituímos
na fórmula do volume:
Para simplificar, vamos assumir que a base é quadrada, ou seja,
. Isso facilita os cálculos e geralmente resulta no volume máximo.
Passo 7
Assumindo
, a equação do custo fica:
Passo 8
O volume em função de
é:
Passo 9
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 10
Como
, então:
E para
:
Resposta
As dimensões da caixa com volume máximo são aproximadamente:
- Comprimento
: 4,714 decímetros - Largura
: 4,714 decímetros - Altura
: 1,178 decímetros
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Uma empresa tem 03 fábricas produzindo a mesma mercadoria. A fábrica
produz
unidades , a
produz
unidades e a
produz
unidades, e seus custos de produção são
, respectivamente. Para atender a um pedido de 1100 unidades, como deve ser distribuída a produção entre as fábricas para minimizar o custo total de produção?
Suponha que,
horas após a injeção de
de adrenalina, a resposta seja
unidades, e
onde
é uma constante positiva. Que valores de
e
causarão a resposta máxima?