Uma empresa tem lucro dado por . A demanda é . Ache:
O ponto de equilibrio

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de economia onde precisamos encontrar o ponto de equilíbrio de uma empresa. O lucro da empresa é dado pela fórmula e a demanda é . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções de lucro e demanda, e como encontrar o ponto onde oferta e demanda se igualam, que é o equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da fórmula significa. O lucro é calculado subtraindo os custos dos ganhos. Na nossa fórmula , representa a quantidade produzida e pode ser uma variável relacionada a outra dimensão da produção ou preço. Já a demanda mostra como o preço varia com a quantidade .

Passo 3

Para encontrar o ponto de equilíbrio, precisamos descobrir onde o lucro é zero, ou seja, onde a empresa não está nem lucrando nem perdendo dinheiro. Isso acontece quando .
Então, vamos igualar a função de lucro a zero:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar essa equação com a função de demanda. Sabemos que , e geralmente, está relacionado com o custo ou receita. Mas aqui, parece que precisamos expressar em termos de para substituir na equação do lucro.
Vamos supor que seja o preço , então podemos substituir por :

Passo 5

Vamos simplificar a equação:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:

Passo 7

Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 8

Calculando o discriminante ( ):

Passo 9

Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Como quantidade não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:

Passo 10

Calculando o valor numérico:

Resposta

O ponto de equilíbrio ocorre aproximadamente quando a quantidade produzida é unidades.

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