Uma empresa tem lucro dado por
. A demanda é
. Ache:
O ponto de equilibrio
O ponto de equilibrio
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de economia onde precisamos encontrar o ponto de equilíbrio de uma empresa. O lucro da empresa é dado pela fórmula
e a demanda é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções de lucro e demanda, e como encontrar o ponto onde oferta e demanda se igualam, que é o equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da fórmula significa. O lucro
é calculado subtraindo os custos dos ganhos. Na nossa fórmula
,
representa a quantidade produzida e
pode ser uma variável relacionada a outra dimensão da produção ou preço. Já a demanda
mostra como o preço
varia com a quantidade
.
Passo 3
Para encontrar o ponto de equilíbrio, precisamos descobrir onde o lucro é zero, ou seja, onde a empresa não está nem lucrando nem perdendo dinheiro. Isso acontece quando
.
Então, vamos igualar a função de lucro a zero:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar essa equação com a função de demanda. Sabemos que
, e geralmente,
está relacionado com o custo ou receita. Mas aqui, parece que precisamos expressar
em termos de
para substituir na equação do lucro.
Vamos supor que
seja o preço
, então podemos substituir
por
:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 7
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 8
Calculando o discriminante (
):
Passo 9
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Como quantidade não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
Passo 10
Calculando o valor numérico:
Resposta
O ponto de equilíbrio ocorre aproximadamente quando a quantidade produzida é
unidades.
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a)
a)
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.
a)
a)
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.
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em torno de
.