Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando séries de potências. A matéria aqui envolve séries de potências e integração de séries. Para isso, vamos precisar transformar a função em uma série de potências e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica: , onde . Nossa função é , que pode ser escrita como . Assim, podemos aplicar a série geométrica com :
Passo 3
Agora que temos a série de potências, vamos integrar termo a termo dentro do intervalo de 0 a :
A integração de é simples:
Então, substituindo os limites:
Passo 4
Agora temos a série resultante:
Vamos verificar se essa série satisfaz o Critério de Leibniz, que diz que uma série alternada converge se for decrescente e tender a zero. Aqui, , que claramente é positivo, decrescente e tende a zero quando vai para o infinito. Então, a série converge pelo Critério de Leibniz.
Passo 5
Agora, para estimar o valor da integral com erro menor que , precisamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que . Vamos calcular os termos até que .
Vamos calcular alguns termos:
Para :
Para :
O próximo termo já é menor que , então podemos parar aqui. A soma dos primeiros dois termos é:
Como o segundo termo é menor que , a estimativa da integral com erro inferior a é aproximadamente .
Resposta
A estimativa da integral com erro inferior a é aproximadamente .