Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin e respectivo raio de convergência de
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série binomial para encontrar a série de Maclaurin da função
e também descobrir o raio de convergência dessa série. A série binomial nos ajuda a expandir funções na forma de potências de
, e para isso, vamos precisar lembrar como ela funciona e quais são as condições para que a série converja.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série binomial, que para qualquer número real
, é dada por:
onde
é o coeficiente binomial generalizado, calculado por:
Nossa função é
, que podemos reescrever como
para encaixar na fórmula da série binomial.
Passo 3
Vamos identificar os valores para aplicar na fórmula:
-
-
na fórmula original será substituído por
Então, substituindo na série binomial, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o coeficiente binomial
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Substituindo esse coeficiente de volta na série, temos:
Simplificando os sinais, já que
, a série fica:
Passo 6
Então, a série de Maclaurin para
é:
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série binomial converge quando
. Portanto, o raio de convergência
é 1.
Resposta
A série de Maclaurin de
é
e o raio de convergência dessa série é
.
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.
a)
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a)
a)
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(2,0) Mostre que a EDO não é exata e encontre o fator integrante
.