Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin e respectivo raio de convergência de
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série binomial para encontrar a série de Maclaurin da função e também descobrir o raio de convergência dessa série. A série binomial nos ajuda a expandir funções na forma de potências de , e para isso, vamos precisar lembrar como ela funciona e quais são as condições para que a série converja.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série binomial, que para qualquer número real , é dada por:
onde é o coeficiente binomial generalizado, calculado por:
Nossa função é , que podemos reescrever como para encaixar na fórmula da série binomial.

Passo 3

Vamos identificar os valores para aplicar na fórmula:
  • na fórmula original será substituído por
Então, substituindo na série binomial, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente binomial :
Isso simplifica para:

Passo 5

Substituindo esse coeficiente de volta na série, temos:
Simplificando os sinais, já que , a série fica:

Passo 6

Então, a série de Maclaurin para é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série binomial converge quando . Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de Maclaurin de é
e o raio de convergência dessa série é .

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