Uma empresa vende seus produtos conforme a função y=x²-28x + 500, onde y é o custo de produção, em reals, x é a quantidade de mercadorias, em unidades. Determine os valores de x e y do vértice da função y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática que representa o custo de produção de uma empresa: $ y = x^2 - 28x + 500 $. Aqui, $ y $ é o custo em reais e $ x $ é a quantidade de mercadorias produzidas, em unidades. Nosso objetivo é encontrar o vértice dessa função, ou seja, os valores de $ x $ e $ y $ onde a função atinge seu ponto mínimo ou máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral $ y = ax^2 + bx + c $. O vértice dessa função, que pode ser o ponto mínimo ou máximo, é encontrado usando as fórmulas:
y = ax^2 + bx + c
xv = -b2a
No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -28 $ e $ c = 500 $.

Passo 3

Vamos calcular $ x_v $ usando a fórmula:
xv
Então, o valor de $ x $ no vértice é 14 unidades.

Passo 4

Agora, vamos encontrar $ y_v $, substituindo $ x_v $ na função original:
yv
xv
yv = (14)^2 - 28 times 14 + 500
Portanto, o valor de $ y $ no vértice é R$304.

Resposta

O vértice da função está em $ x = 14 $ unidades e $ y = 304 $ reais.

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