Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(x + 1) * y' = 2y

Passo 1

Beleza, então a gente tem essa equação diferencial aqui: (x + 1) * y' = 2y. O que precisamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar y':
Isso já nos ajuda a ver que podemos separar as variáveis y e x para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e por :
Dessa forma, conseguimos deixar todos os termos envolvendo y de um lado e os que envolvem x do outro.

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é e do lado direito é .

Passo 5

Após integrar, temos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver para y, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante k, então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = (1 + x) * (1 + y^2)
Averigüe si son soluciones de las ecuaciones diferenciales que dan, las funciones que si indican:
(x+y) dx + x dy = 0 ; y = 1/x
Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S
© F(x, y, z)=3 x y^2 i+x e^z j+z^3 k, S é a superfície do sólido limitado pelo círculo y^2+z^2=1 e os planos x=-1 e x=2.
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = (y - 1) * (y - 2) con
y(0) = (2 - e) / (1 - e)