Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(x + 1) * y' = 2y

Passo 1

Beleza, então a gente tem essa equação diferencial aqui: (x + 1) * y' = 2y. O que precisamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar y':
Isso já nos ajuda a ver que podemos separar as variáveis y e x para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e por :
Dessa forma, conseguimos deixar todos os termos envolvendo y de um lado e os que envolvem x do outro.

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é e do lado direito é .

Passo 5

Após integrar, temos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver para y, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante k, então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante arbitrária.

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