Encontra a equação da reta perpendicular à curva y = ln(x^2 - 3x + 1) no ponto x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que é perpendicular à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas (cálculo diferencial) para achar a inclinação da curva nesse ponto e depois encontrar a inclinação da reta perpendicular. Finalmente, vamos montar a equação da reta usando o ponto encontrado.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de quando . Isso vai nos dar o ponto exato na curva onde vamos trabalhar.
Substituindo na função:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da curva no ponto . Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto.
Começando com a função:
A derivada de em relação a é:
Agora, substituímos na derivada:
Então, a inclinação da curva no ponto é 3.

Passo 4

Para encontrar a inclinação da reta perpendicular, usamos o fato de que duas retas são perpendiculares se suas inclinações multiplicadas dão -1. Ou seja, se a inclinação da curva é , a inclinação da reta perpendicular será .
Então, se , a inclinação da reta perpendicular é:

Passo 5

Finalmente, vamos montar a equação da reta perpendicular usando a fórmula do ponto inclinação:
Onde e .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta perpendicular à curva no ponto é:

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Encontra a equação da reta tangente à curva y = 2 / (1 + e^(-x)) no ponto x = 0.
Encontre a transformada de Fourier das funções a seguir: f(x) = { e^(-2 x), x > 0; 0, x <= 0 }
Encontre a derivada utilizando a derivação logarítmica.
y = raiz(x^x)
Econtre o limite. Use a Regra de L
2. lim x infty ln e^xx^3