Encontre a derivada utilizando a derivação logarítmica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de
usando derivação logarítmica. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente, técnicas de diferenciação. A derivação logarítmica é útil quando temos funções onde a variável está tanto na base quanto no expoente, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar os cálculos. A função
pode ser escrita como
ou
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a derivação logarítmica. Começamos tirando o logaritmo natural de ambos os lados da equação:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar o lado direito da equação:
Passo 5
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 6
Agora, vamos diferenciar o lado direito. Aplicamos a regra do produto para
:
Passo 7
Colocando tudo de volta na equação, temos:
Passo 8
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é:
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no ponto
.
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.
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2.
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