Econtre o limite. Use a Regra de L
2. lim x infty ln e^xx^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o limite quando tende ao infinito de . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo de Limites, mais especificamente a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos indeterminações como ou . Vamos precisar aplicar essa regra para simplificar a expressão e encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão ln e^xx^3 = xx^3 = 1x^2 . Sabemos que limx to infty 1x^2 é equivalente a , já que o logaritmo natural de é .
Então, a expressão original fica:
Agora, temos:

Passo 3

Antes de prosseguirmos, vamos entender o que isso significa. Conforme fica cada vez maior, cresce muito mais rápido do que . Portanto, vai se aproximando cada vez mais de zero.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos uma indeterminação do tipo , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Mas, no nosso caso, já simplificamos a expressão para , e não precisamos mais aplicar a regra.

Passo 5

Conclusão: Já que tende a zero conforme tende ao infinito, o limite que estamos buscando também é zero.

Resposta

limx to infty ln e^xx^3 = 0

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