Encontrar a curva de intersecção do gráfico da função dada com os planos dados, representando graficamente:
com os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as curvas de intersecção do gráfico da função
com os planos
,
,
e
. Isso envolve um pouco de geometria analítica e álgebra. Vamos precisar usar conceitos de interseção de superfícies e resolver algumas equações para achar essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando a gente intersecta o gráfico da função com o plano
. Isso significa que vamos substituir
por 0 na equação da função:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 4
Rearranjando a equação, temos:
Isso representa uma parábola no plano
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a interseção com o plano
. Substituímos
por 1 na equação da função:
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Rearranjando a equação:
Essa também é uma parábola, mas deslocada em relação à anterior.
Passo 8
Agora, vamos para a interseção com o plano
. Substituímos
por 0 na equação da função:
Passo 9
Essa equação representa uma parábola no plano
no espaço tridimensional.
Passo 10
Por último, vamos encontrar a interseção com o plano
. Substituímos
por 0 na equação da função:
Passo 11
Essa também é uma parábola, agora no plano
.
Resposta
As curvas de intersecção são:
- Com
: - Com
: - Com
: - Com
:
Essas curvas representam parábolas em diferentes planos do espaço tridimensional.
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