Encontrar a curva de intersecção do gráfico da função dada com os planos dados, representando graficamente: com os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as curvas de intersecção do gráfico da função com os planos , , e . Isso envolve um pouco de geometria analítica e álgebra. Vamos precisar usar conceitos de interseção de superfícies e resolver algumas equações para achar essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando a gente intersecta o gráfico da função com o plano . Isso significa que vamos substituir por 0 na equação da função:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Passo 4

Rearranjando a equação, temos:
Isso representa uma parábola no plano .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a interseção com o plano . Substituímos por 1 na equação da função:

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Rearranjando a equação:
Essa também é uma parábola, mas deslocada em relação à anterior.

Passo 8

Agora, vamos para a interseção com o plano . Substituímos por 0 na equação da função:

Passo 9

Essa equação representa uma parábola no plano no espaço tridimensional.

Passo 10

Por último, vamos encontrar a interseção com o plano . Substituímos por 0 na equação da função:

Passo 11

Essa também é uma parábola, agora no plano .

Resposta

As curvas de intersecção são:
  1. Com :
  2. Com :
  3. Com :
  4. Com :
Essas curvas representam parábolas em diferentes planos do espaço tridimensional.

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