Use o método da variação dos parâmetros para resolver

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método da variação dos parâmetros. Esse método é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas, ou seja, aquelas que têm um termo que não depende só da função e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares de primeira ordem e como aplicamos a variação dos parâmetros nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma padrão é:
Para chegar lá, vamos dividir ambos os lados da nossa equação original por (assumindo que ):
Agora, a gente tem:
onde e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é quando :
Essa é uma equação linear homogênea, e podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação homogênea por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde é uma função que precisamos encontrar. Vamos derivar :
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
Usando integração por partes, onde e :
Mas como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante :
Finalmente, a solução particular é:

Passo 5

Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação não homogênea:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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