Use o método da variação dos parâmetros para resolver
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
. Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método da variação dos parâmetros. Esse método é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas, ou seja, aquelas que têm um termo que não depende só da função
e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares de primeira ordem e como aplicamos a variação dos parâmetros nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma padrão é:
Para chegar lá, vamos dividir ambos os lados da nossa equação original por
(assumindo que
):
Agora, a gente tem:
onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é quando
:
Essa é uma equação linear homogênea, e podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação homogênea por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular
da equação não homogênea:
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
é uma função que precisamos encontrar. Vamos derivar
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
Usando integração por partes, onde
e
:
Mas como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante
:
Finalmente, a solução particular é:
Passo 5
Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea
com a solução particular
para obter a solução geral da equação não homogênea:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Encontrar a curva de intersecção do gráfico da função dada com os planos dados, representando graficamente:
com os planos
e
.
Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dado: