integral0^1 integralx^1 e^x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e como trocar a ordem de integração se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso forma uma região triangular no plano .

Passo 3

Vamos verificar se é mais fácil integrar em relação a primeiro ou a . Olhando para a função , integrar em relação a parece mais simples. Então, vamos seguir nessa ordem.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna, ou seja, integrar integralx^1 e^x y , dy em relação a integral e^x y , dy = 1x e^x y + C , mantendo constante:
Para integrar em relação a , tratamos como uma constante:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 1x e^x y ]y = x^y = 1 = 1x e^x cdot 1 - 1x e^x cdot x = e^xx - e^x^2x a 1:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa e integramos em relação a integral0^1 ( e^xx - e^x^2x ) , dx :
Essa integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares, mas podemos observar que ela é convergente e pode ser avaliada numericamente ou expressa em termos da função especial Ei(x), a função exponencial integral.

Passo 7

No entanto, para fins de cálculo exato, reconhecemos que a integral original pode ser resolvida trocando a ordem de integração. Vamos reescrever os limites:
Para integral0^1 integral0^y e^x y , dx , dy , trocamos a ordem para e .
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos integral0^y e^x y , dx = e^x yy g|0^y = e^y^2 - 1y em relação a :

Passo 9

Substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 e^y^2 - 1y , dy
Novamente, essa integral também leva à função exponencial integral, mas podemos expressá-la como:
integral0^1 e^y^2 - 1y , dy = 12 ( Ei(1) - ln(1) ) = 12 Ei(1)

Resposta

A integral dupla é igual a , onde é a função exponencial integral avaliada em 1.

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