Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e como trocar a ordem de integração se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso forma uma região triangular no plano .

Passo 3

Vamos verificar se é mais fácil integrar em relação a primeiro ou a . Olhando para a função , integrar em relação a parece mais simples. Então, vamos seguir nessa ordem.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna, ou seja, integrar em relação a , mantendo constante:
Para integrar em relação a , tratamos como uma constante:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de a 1:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa e integramos em relação a :
Essa integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares, mas podemos observar que ela é convergente e pode ser avaliada numericamente ou expressa em termos da função especial Ei(x), a função exponencial integral.

Passo 7

No entanto, para fins de cálculo exato, reconhecemos que a integral original pode ser resolvida trocando a ordem de integração. Vamos reescrever os limites:
Para , trocamos a ordem para e .
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Passo 9

Substituímos de volta na integral externa:
Novamente, essa integral também leva à função exponencial integral, mas podemos expressá-la como:

Resposta

A integral dupla é igual a , onde é a função exponencial integral avaliada em 1.

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