Beleza, vamos resolver a integral dupla . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e como trocar a ordem de integração se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso forma uma região triangular no plano .
Passo 3
Vamos verificar se é mais fácil integrar em relação a primeiro ou a . Olhando para a função , integrar em relação a parece mais simples. Então, vamos seguir nessa ordem.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna, ou seja, integrar em relação a , mantendo constante:
Para integrar em relação a , tratamos como uma constante:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de a 1:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral externa e integramos em relação a :
Essa integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares, mas podemos observar que ela é convergente e pode ser avaliada numericamente ou expressa em termos da função especial Ei(x), a função exponencial integral.
Passo 7
No entanto, para fins de cálculo exato, reconhecemos que a integral original pode ser resolvida trocando a ordem de integração. Vamos reescrever os limites:
Para , trocamos a ordem para e .
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a :
Passo 9
Substituímos de volta na integral externa:
Novamente, essa integral também leva à função exponencial integral, mas podemos expressá-la como:
Resposta
A integral dupla é igual a , onde é a função exponencial integral avaliada em 1.