Encontrar o envelope das famílias de curvas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para encontrar o envelope de uma família de curvas. A família de curvas dada é . Basicamente, temos uma série de círculos com centros variando conforme o valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente noções sobre derivadas e como elas ajudam a encontrar esse envelope.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a família de curvas. A equação representa círculos com raio 2 e centro no ponto . Aqui, é o parâmetro que muda, gerando diferentes círculos.

Passo 3

Para encontrar o envelope dessas curvas, precisamos eliminar o parâmetro . Uma técnica comum para isso é usar derivadas. A ideia é que, no envelope, a curva tangente toca todas as curvas da família. Então, vamos derivar a equação original em relação a .
Primeiro, expandindo a equação:

Passo 4

Agora, derivamos ambos os lados da equação em relação a :

Passo 5

Simplificando a derivada:

Passo 6

Agora que temos , vamos substituir esse valor de de volta na equação original para eliminar o parâmetro .
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 8

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O envelope das famílias de curvas dadas é composto pelas duas retas:

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