Encontrar o envelope das famílias de curvas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para encontrar o envelope de uma família de curvas. A família de curvas dada é
. Basicamente, temos uma série de círculos com centros variando conforme o valor de
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente noções sobre derivadas e como elas ajudam a encontrar esse envelope.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a família de curvas. A equação
representa círculos com raio 2 e centro no ponto
. Aqui,
é o parâmetro que muda, gerando diferentes círculos.
Passo 3
Para encontrar o envelope dessas curvas, precisamos eliminar o parâmetro
. Uma técnica comum para isso é usar derivadas. A ideia é que, no envelope, a curva tangente toca todas as curvas da família. Então, vamos derivar a equação original em relação a
.
Primeiro, expandindo a equação:
Passo 4
Agora, derivamos ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 5
Simplificando a derivada:
Passo 6
Agora que temos
, vamos substituir esse valor de
de volta na equação original para eliminar o parâmetro
.
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 8
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O envelope das famílias de curvas dadas é composto pelas duas retas:
Exercícios relacionados
Integrar as equações diferenciais exatas.
i.
Integrar as equações diferenciais exatas.
Encontrar o envelope das famílias de curvas