Encontrar o envelope das famílias de curvas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o envelope da família de curvas dada por
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente em Geometria Analítica e Equações Parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um envelope de famílias de curvas e como encontrar essa equação usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um envelope. Imagine que você tem várias curvas diferentes, cada uma correspondente a um valor diferente do parâmetro
. O envelope dessas curvas é uma curva que “toca” todas as curvas da família sem cruzá-las, formando uma espécie de “capa” ao redor delas.
Passo 3
Para encontrar o envelope, seguimos um método que envolve duas equações. Dada a família de curvas
, podemos reescrevê-la como uma função
:
Passo 4
O próximo passo é derivar
em relação ao parâmetro
e igualar a zero. Isso nos dá uma segunda equação que nos ajuda a eliminar
:
Passo 5
Agora, temos o sistema de duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para
em função de
:
Passo 6
Com
, podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar
:
Passo 7
Agora, temos
e
em termos de
:
Para eliminar
, vamos expressar
a partir de uma das equações. Por exemplo, da equação
, isolamos
:
Passo 8
Substituindo
na equação de
:
Passo 9
Finalmente, reescrevendo a equação para deixar
em função de
, temos o envelope da família de curvas:
Resposta
O envelope da família de curvas
é dado por: