Encontrar o envelope das famílias de curvas
y = x/C + C^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o envelope da família de curvas dada por . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente em Geometria Analítica e Equações Parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um envelope de famílias de curvas e como encontrar essa equação usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um envelope. Imagine que você tem várias curvas diferentes, cada uma correspondente a um valor diferente do parâmetro . O envelope dessas curvas é uma curva que “toca” todas as curvas da família sem cruzá-las, formando uma espécie de “capa” ao redor delas.

Passo 3

Para encontrar o envelope, seguimos um método que envolve duas equações. Dada a família de curvas , podemos reescrevê-la como uma função :

Passo 4

O próximo passo é derivar em relação ao parâmetro e igualar a zero. Isso nos dá uma segunda equação que nos ajuda a eliminar :

Passo 5

Agora, temos o sistema de duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para em função de :

Passo 6

Com , podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar :

Passo 7

Agora, temos e em termos de :
Para eliminar , vamos expressar a partir de uma das equações. Por exemplo, da equação , isolamos :

Passo 8

Substituindo na equação de :

Passo 9

Finalmente, reescrevendo a equação para deixar em função de , temos o envelope da família de curvas:

Resposta

O envelope da família de curvas é dado por:

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