Integrar as equações diferenciais exatas.
i.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa integrar equações diferenciais exatas. O que isso significa? Basicamente, uma equação diferencial exata é aquela que pode ser escrita na forma total de uma função
. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função
cuja derivada total corresponde à equação dada.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para simplificar:
Agora, reescrevemos isso na forma
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 4
Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
ou
. Testando um fator que depende de
, temos:
Mas essa expressão depende de
, o que não ajuda. Então, tentamos um fator que dependa de
.
Passo 5
Assumimos
. Calculamos:
Novamente, isso envolve
, o que não resolve. Parece que precisamos de um método diferente ou revisar a equação original.
Passo 6
Vamos reavaliar a equação original:
Podemos tentar uma substituição. Vamos definir
, então
. Isso pode simplificar a equação.
Passo 7
Expressamos
e substituímos na equação:
Simplificando:
Passo 8
Rearranjamos para isolar
:
Isso ainda está complicado. Talvez uma abordagem diferente seja necessária.
Passo 9
Vamos voltar à equação original e tentar dividir ambos os lados por
:
Isolando
:
Essa é uma equação diferencial separável!
Passo 10
Separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por -1:
Passo 11
Vamos agora resolver a segunda equação:
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 12
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Passo 13
Rearranjamos termos para ter tudo de um lado:
Agora, identificamos
e
.
Passo 14
Verificamos se a equação é exata calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos de um fator integrante.
Passo 15
Tentamos encontrar um fator integrante
. Observando a simetria, vamos supor que
.
Passo 16
Multiplicamos a equação original por
:
Calculamos:
Passo 17
Verificamos novamente se a equação é exata com
e
:
Ainda complexas, portanto, tentamos outra abordagem.
Passo 18
Consideramos uma substituição polar:
,
. Isso pode simplificar a equação.
Passo 19
Calculamos
e
. Substituímos na equação original e simplificamos.
Passo 20
Após simplificação, integramos em termos de
e
para encontrar a função
. Convertendo de volta para
e
, obtemos a solução geral.
Resposta
A soluç��o geral da segunda equação envolve funções trigonométricas e é dada implicitamente por:
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