Integrar as equações diferenciais exatas.
i.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa integrar equações diferenciais exatas. O que isso significa? Basicamente, uma equação diferencial exata é aquela que pode ser escrita na forma total de uma função . Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função cuja derivada total corresponde à equação dada.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para simplificar:
Agora, reescrevemos isso na forma :
Aqui, e .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de ou . Testando um fator que depende de , temos:
Mas essa expressão depende de , o que não ajuda. Então, tentamos um fator que dependa de .

Passo 5

Assumimos . Calculamos:
Novamente, isso envolve , o que não resolve. Parece que precisamos de um método diferente ou revisar a equação original.

Passo 6

Vamos reavaliar a equação original:
Podemos tentar uma substituição. Vamos definir , então . Isso pode simplificar a equação.

Passo 7

Expressamos e substituímos na equação:
Simplificando:

Passo 8

Rearranjamos para isolar :
Isso ainda está complicado. Talvez uma abordagem diferente seja necessária.

Passo 9

Vamos voltar à equação original e tentar dividir ambos os lados por :
Isolando :
Essa é uma equação diferencial separável!

Passo 10

Separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por -1:

Passo 11

Vamos agora resolver a segunda equação:
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 12

Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:

Passo 13

Rearranjamos termos para ter tudo de um lado:
Agora, identificamos e .

Passo 14

Verificamos se a equação é exata calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos de um fator integrante.

Passo 15

Tentamos encontrar um fator integrante . Observando a simetria, vamos supor que .

Passo 16

Multiplicamos a equação original por :
Calculamos:

Passo 17

Verificamos novamente se a equação é exata com e :
Ainda complexas, portanto, tentamos outra abordagem.

Passo 18

Consideramos uma substituição polar: , . Isso pode simplificar a equação.

Passo 19

Calculamos e . Substituímos na equação original e simplificamos.

Passo 20

Após simplificação, integramos em termos de e para encontrar a função . Convertendo de volta para e , obtemos a solução geral.

Resposta

A soluç��o geral da segunda equação envolve funções trigonométricas e é dada implicitamente por:

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