Integrar as equações diferenciais exatas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial que precisa ser resolvida usando o método de equações diferenciais exatas. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Nosso objetivo é integrar essa equação para encontrar a solução. Para isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais exatas e como identificá-las e integrá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar em uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Podemos rearranjar para trazer todos os termos para um lado:
Agora, vamos expressar isso na forma de uma equação diferencial exata. Uma equação diferencial exata tem a forma:
Comparando com a nossa equação, identificamos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, verificamos se:
Calculando as derivadas:
Como , a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Um método comum para encontrar um fator integrante é tentar encontrar uma função que depende apenas de . Multiplicamos a equação original por :
Agora, temos:
Para a equação ser exata, deve ser válido:
Calculando as derivadas:
Igualando:
Isso sugere que podemos escolher de forma a simplificar a equação. Observando que deve compensar os termos, podemos tentar .

Passo 5

Multiplicando a equação original por :
Simplificando:
Agora, identificamos:
Verificando a exatidão:
Ainda não é exata. Isso indica que nosso fator integrante escolhido não funcionou. Vamos tentar outro método ou revisão.

Passo 6

Vamos reconsiderar o método. Talvez a equação original possa ser simplificada antes de aplicar o fator integrante. Reescrevendo a equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, podemos tentar uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Calculando a derivada de em relação a :
Substituindo da equação original:
Simplificando:
Então, , o que significa que .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Integrar as equações diferenciais lineares
Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Integrar as equações diferenciais exatas.
i.
Encontrar o envelope das famílias de curvas