Integrar as equações diferenciais exatas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial que precisa ser resolvida usando o método de equações diferenciais exatas. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Nosso objetivo é integrar essa equação para encontrar a solução. Para isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais exatas e como identificá-las e integrá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar em uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Podemos rearranjar para trazer todos os termos para um lado:
Agora, vamos expressar isso na forma de uma equação diferencial exata. Uma equação diferencial exata tem a forma:
Comparando com a nossa equação, identificamos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, verificamos se:
Calculando as derivadas:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Um método comum para encontrar um fator integrante é tentar encontrar uma função
que depende apenas de
. Multiplicamos a equação original por
:
Agora, temos:
Para a equação ser exata, deve ser válido:
Calculando as derivadas:
Igualando:
Isso sugere que podemos escolher
de forma a simplificar a equação. Observando que
deve compensar os termos, podemos tentar
.
Passo 5
Multiplicando a equação original por
:
Simplificando:
Agora, identificamos:
Verificando a exatidão:
Ainda não é exata. Isso indica que nosso fator integrante escolhido não funcionou. Vamos tentar outro método ou revisão.
Passo 6
Vamos reconsiderar o método. Talvez a equação original possa ser simplificada antes de aplicar o fator integrante. Reescrevendo a equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, podemos tentar uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Calculando a derivada de
em relação a
:
Substituindo
da equação original:
Simplificando:
Então,
, o que significa que
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Integrar as equações diferenciais lineares
Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Integrar as equações diferenciais exatas.
i.
Encontrar o envelope das famílias de curvas