Integrar as equações diferenciais que admitem solução em termos de equações homogêneas.
(3y - 7x + 7) dx - (3x - 7y - 3) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar uma equação diferencial que admite solução em termos de equações homogêneas. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais homogêneas e como integrá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos podem ser escritos como funções de y/x. Vamos reorganizar a equação para ver isso melhor:
Vamos dividir tudo por x para tentar expressar em termos de y/x:
Perceba que ainda temos termos que não são homogêneos devido aos e . Isso indica que a equação não é homogênea pura, então precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação homogênea.

Passo 3

Um fator integrante comum para equações que não são homogêneas é uma função que depende de x ou y que, quando multiplicada pela equação original, torna-a exata ou homogênea. Vamos tentar encontrar um fator integrante mu(x) que depende somente de x.
Para isso, a condição para mu(x) é:
Onde e .
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na condição:
Isso parece complicado, então talvez um fator integrante depende de y.
Tentando mu(y), a condição fica:
Substituindo:
Ainda complicado. Parece que encontrar um fator integrante direto não está funcionando. Vamos tentar reescrever a equação de outra forma.

Passo 4

Vamos reescrever a equação original:
Podemos rearranjar para obter :
Agora, vamos tentar escrever em termos de , o que é típico em equações homogêneas. Então, e .
Substituindo na equação:
Vamos simplificar cancelando x onde possível:
Isso ainda parece complicado, então vamos tentar outro método.

Passo 5

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
Onde e .
Calculando as derivadas:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 6

Vamos tentar encontrar um fator integrante mu(x, y) que depende de x e y. Isso pode ser complicado, mas uma abordagem comum é tentar separar as variáveis.
Assumamos que mu depende apenas de x ou apenas de y. Vamos verificar se existe algum fator integrante possível.
Após tentativas anteriores, parece que não encontramos um fator integrante simples. Portanto, podemos considerar outra abordagem, como encontrar uma solução particular ou utilizar métodos alternativos.

Passo 7

Como a equação não é homogênea e não conseguimos facilmente encontrar um fator integrante, vamos tentar resolver de forma implícita.
Rearranjando a equação:
Integrando ambos os lados:
Assumindo que y é constante em relação a x na integração da esquerda e x é constante em relação a y na integração da direita:
Rearranjando os termos para juntar tudo em um lado:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é a constante de integração.

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