Integrar as equações de Clairaut
y = x * y' + y'

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de Clairaut dada por:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente a resolução de Equações Diferenciais de Clairaut. Para resolver essa equação, vamos precisar conhecer o que é uma equação de Clairaut e como encontrar suas soluções gerais e singulares.

Passo 2

Vamos começar identificando a equação de Clairaut na forma padrão. A equação de Clairaut geralmente é escrita como:
onde é a derivada de em relação a , e é uma função de .
No nosso caso, a equação é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, identificamos que .

Passo 3

A próxima etapa é encontrar a solução geral da equação de Clairaut. A solução geral é obtida assumindo que é uma constante, digamos . Então, substituímos por na equação:
Isso nos dá a família de retas que são soluções da equação diferencial original, onde é uma constante arbitr��ria.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a solução singular, que é uma solução especial que não pertence à família de soluções gerais encontradas no passo anterior. Para isso, derivamos ambos os lados da equação original em relação a :
Como é constante, substituímos na equação original:
Mas para encontrar a solução singular, usamos o critério de que a derivada de em relação a deve ser igual a zero:
Isso não faz sentido, indicando que não há uma solução singular para esta equação de Clairaut.

Resposta

A solução geral da equação de Clairaut é:
onde é uma constante arbitrária. Não existe uma solução singular para esta equação.

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