Integrar as equações de Clairaut
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de Clairaut dada por:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente a resolução de Equações Diferenciais de Clairaut. Para resolver essa equação, vamos precisar conhecer o que é uma equação de Clairaut e como encontrar suas soluções gerais e singulares.
Passo 2
Vamos começar identificando a equação de Clairaut na forma padrão. A equação de Clairaut geralmente é escrita como:
onde
é a derivada de
em relação a
, e
é uma função de
.
No nosso caso, a equação é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, identificamos que
.
Passo 3
A próxima etapa é encontrar a solução geral da equação de Clairaut. A solução geral é obtida assumindo que
é uma constante, digamos
. Então, substituímos
por
na equação:
Isso nos dá a família de retas que são soluções da equação diferencial original, onde
é uma constante arbitr��ria.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a solução singular, que é uma solução especial que não pertence à família de soluções gerais encontradas no passo anterior. Para isso, derivamos ambos os lados da equação original em relação a
:
Como
é constante, substituímos
na equação original:
Mas para encontrar a solução singular, usamos o critério de que a derivada de
em relação a
deve ser igual a zero:
Isso não faz sentido, indicando que não há uma solução singular para esta equação de Clairaut.
Resposta
A solução geral da equação de Clairaut
é:
onde
é uma constante arbitrária. Não existe uma solução singular para esta equação.