Encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta que toca a curva definida por
no ponto onde a abscissa
. Para isso, vamos usar conceitos de derivada, que nos ajudam a determinar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
, que nos dará a inclinação da reta tangente. A função é uma fração, então usaremos a regra do quociente:
A derivada
é dada por:
Calculando
e
:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos avaliar a derivada no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa
é: