Encontrar as equaçores das retas tangente e normal à curva
, sabendo-
000 se que a reta tangente é paralela à reta
. Esboce o gráfico.
000 se que a reta tangente é paralela à reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal à curva
. Sabemos também que a reta tangente é paralela à reta
. Vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da tangente e depois encontrar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a reta tangente é paralela a outra reta. Se duas retas são paralelas, elas têm a mesma inclinação. A inclinação da reta
é
porque está na forma
, onde
é a inclinação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
para obter a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Sabemos que a inclinação da tangente é
, então igualamos a derivada a
para encontrar o valor de
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ponto na curva para cada valor de
:
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 6
Com a inclinação
e os pontos encontrados, podemos usar a fórmula da reta
para cada ponto.
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as equações das retas normais. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como
, então:
Passo 8
Usamos novamente a fórmula da reta para cada ponto com a inclinação
.
Para
:
Para
:
Resposta
As equações das retas tangente à curva
são:
As equações das retas normais são:
Exercícios relacionados
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Deixe em branco.
Corretas | Erradas | Nota |
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Qual o limite da sequência
?
Verifique se a função
satisfaz o Teorema do Valor Médio (TVM)
(15) no intervalo ? Caso afirmativo, encontre
conforme o TVM.
(15) no intervalo
Calcule os limites abaixo:
18 a) (Sugestio faça
)
18 a)