Verifique se a função f(x) = (x + 1) / (2x - 3) satisfaz o Teorema do Valor Médio (TVM)
(15) no intervalo [-2, 1] ? Caso afirmativo, encontre c conforme o TVM.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função satisfaz o Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo . O TVM nos diz que, se a função for contínua nesse intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto, então existe pelo menos um ponto onde a derivada da função é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo. Para resolver, vamos precisar de conceitos de continuidade, derivadas e, claro, aplicar a fórmula do TVM.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a função é contínua no intervalo . Uma função racional como essa é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. Então, precisamos garantir que nesse intervalo.
Vamos resolver :
Como não está no intervalo , a função é contínua nesse intervalo. Pronto, a primeira condição do TVM está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é diferenciável no intervalo aberto . Como a funç��o é contínua lá e é uma função racional com denominador diferente de zero no intervalo, ela também é diferenciável nesse intervalo. Então, a segunda condição do TVM também está ok.

Passo 4

Como as duas condições do TVM estão satisfeitas, podemos aplicar o teorema. O TVM nos diz que existe pelo menos um ponto em tal que:
Vamos calcular e :
Agora, a taxa de variação média:
Então, queremos achar tal que .

Passo 5

Vamos encontrar a derivada de :
Usando a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a :
Simplificando:
Resolvendo para :
Agora, verificamos quais desses valores estão no intervalo :
Então, o valor válido de é .

Resposta

Sim, a função satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo . O valor de que satisfaz o TVM é:

Exercícios relacionados