Verifique se a função
satisfaz o Teorema do Valor Médio (TVM)
(15) no intervalo
? Caso afirmativo, encontre
conforme o TVM.
(15) no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
satisfaz o Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo
. O TVM nos diz que, se a função for contínua nesse intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto, então existe pelo menos um ponto
onde a derivada da função é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo. Para resolver, vamos precisar de conceitos de continuidade, derivadas e, claro, aplicar a fórmula do TVM.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se a função
é contínua no intervalo
. Uma função racional como essa é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. Então, precisamos garantir que
nesse intervalo.
Vamos resolver
:
Como
não está no intervalo
, a função é contínua nesse intervalo. Pronto, a primeira condição do TVM está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é diferenciável no intervalo aberto
. Como a funç��o é contínua lá e é uma função racional com denominador diferente de zero no intervalo, ela também é diferenciável nesse intervalo. Então, a segunda condição do TVM também está ok.
Passo 4
Como as duas condições do TVM estão satisfeitas, podemos aplicar o teorema. O TVM nos diz que existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Vamos calcular
e
:
Agora, a taxa de variação média:
Então, queremos achar
tal que
.
Passo 5
Vamos encontrar a derivada de
:
Usando a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Agora, verificamos quais desses valores estão no intervalo
:
Então, o valor válido de
é
.
Resposta
Sim, a função satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo
. O valor de
que satisfaz o TVM é:
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000 se que a reta tangente é paralela à reta
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Deixe em branco.
Corretas | Erradas | Nota |
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Calcule os limites abaixo:
18 a) (Sugestio faça
)
18 a)
A funçao
satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo
?
(1.0) Caso afimativo, encontre conforme o Teorema.
(1.0) Caso afimativo, encontre