Calcule os limites abaixo:
18 a) lim x 0 x^2 (Sugestio faça y=lim x 0 x^x )

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse tipo de limite envolve funções exponenciais, então vamos usar alguns conceitos de logaritmos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir . Nosso objetivo é encontrar o valor de .

Passo 3

Para resolver isso, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados: .

Passo 4

Sabemos que , então podemos reescrever: .

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Sabemos que tende a quando se aproxima de 0, mas tende a 0, então temos uma forma indeterminada .

Passo 6

Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão como e aplicar a Regra de L’Hôpital, que é usada em situações de ou .

Passo 7

Calculando as derivadas: a derivada de é e a derivada de é .

Passo 8

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
limx 0 ln(x)1/x = limx 0 1x-1x^2 = limx 0 -x = 0

Passo 9

Portanto, . Para encontrar , aplicamos a exponenciação dos dois lados: .

Resposta

limx 0 x^x = 1

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