Calcule os limites abaixo:
18 a)
(Sugestio faça
)
18 a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse tipo de limite envolve funções exponenciais, então vamos usar alguns conceitos de logaritmos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
.
Passo 3
Para resolver isso, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
.
Passo 4
Sabemos que
, então podemos reescrever:
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que
tende a
quando
se aproxima de 0, mas
tende a 0, então temos uma forma indeterminada
.
Passo 6
Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão como
e aplicar a Regra de L’Hôpital, que é usada em situações de
ou
.
Passo 7
Calculando as derivadas: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 8
Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Passo 9
Portanto,
. Para encontrar
, aplicamos a exponenciação dos dois lados:
.