Demonstrar que os pontos
e
são os vértices de um quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os pontos
,
,
e
formam os vértices de um quadrado. Para isso, vamos precisar trabalhar com distâncias entre pontos e ângulos retos. Basicamente, vamos verificar se todos os lados têm o mesmo comprimento e se os ângulos entre eles são de 90 graus.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as distâncias entre cada par de pontos para verificar se todos os lados são iguais. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Passo 3
Vamos calcular as distâncias:
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
Passo 4
Vimos que todas as distâncias entre os pontos são iguais a 5. Isso significa que os quatro lados são congruentes, uma das propriedades de um quadrado. Mas ainda precisamos confirmar se os ângulos são retos para garantir que é realmente um quadrado.
Passo 5
Para verificar os ângulos, podemos usar o produto escalar entre os vetores dos lados consecutivos. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares, ou seja, os ângulos são de 90 graus.
Vamos encontrar os vetores:
- Vetor de
para :
- Vetor de
para :
- Vetor de
para :
- Vetor de
para :
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores consecutivos:
Passo 7
Como o produto escalar entre todos os vetores consecutivos é zero, isso confirma que todos os ângulos entre os lados são de 90 graus.
Resposta
Portanto, os pontos
,
,
e
são realmente os vértices de um quadrado.