Demonstrar que os pontos (0,1),(3,5),(7,2) e (4,-2) são os vértices de um quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os pontos (0,1), (3,5), (7,2) e (4,-2) formam os vértices de um quadrado. Para isso, vamos precisar trabalhar com distâncias entre pontos e ângulos retos. Basicamente, vamos verificar se todos os lados têm o mesmo comprimento e se os ângulos entre eles são de 90 graus.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as distâncias entre cada par de pontos para verificar se todos os lados são iguais. A fórmula para a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

Passo 3

Vamos calcular as distâncias:
  1. Entre (0,1) e (3,5):
d1 = raiz(3-0)^2 + (5-1)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
  1. Entre (3,5) e (7,2):
d2 = raiz(7-3)^2 + (2-5)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
  1. Entre (7,2) e (4,-2):
d3 = raiz(4-7)^2 + (-2-2)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
  1. Entre (4,-2) e (0,1):
d4 = raiz(0-4)^2 + (1-(-2))^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5

Passo 4

Vimos que todas as distâncias entre os pontos são iguais a 5. Isso significa que os quatro lados são congruentes, uma das propriedades de um quadrado. Mas ainda precisamos confirmar se os ângulos são retos para garantir que é realmente um quadrado.

Passo 5

Para verificar os ângulos, podemos usar o produto escalar entre os vetores dos lados consecutivos. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares, ou seja, os ângulos são de 90 graus.
Vamos encontrar os vetores:
  1. Vetor de (0,1) para (3,5):
v1 = (3-0, 5-1) = (3,4)
  1. Vetor de (3,5) para (7,2):
v2 = (7-3, 2-5) = (4,-3)
  1. Vetor de (7,2) para (4,-2):
v3 = (4-7, -2-2) = (-3,-4)
  1. Vetor de (4,-2) para (0,1):
v4 = (0-4, 1-(-2)) = (-4,3)

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores consecutivos:
  1. v1 cdot v2 = (3)(4) + (4)(-3) = 12 - 12 = 0
  2. v2 cdot v3 = (4)(-3) + (-3)(-4) = -12 + 12 = 0
  3. v3 cdot v4 = (-3)(-4) + (-4)(3) = 12 - 12 = 0
  4. v4 cdot v1 = (-4)(3) + (3)(4) = -12 + 12 = 0

Passo 7

Como o produto escalar entre todos os vetores consecutivos é zero, isso confirma que todos os ângulos entre os lados são de 90 graus.

Resposta

Portanto, os pontos (0,1), (3,5), (7,2) e (4,-2) são realmente os vértices de um quadrado.

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