Mostre que a integral integralgamma d x+d y é nula, qualquer que seja a curva fechada gamma de classe C^1 por partes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral integralgamma dx + dy é igual a zero para qualquer curva fechada gamma que seja de classe C^1 por partes. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha e ao teorema de Green, que conectam integrais sobre curvas fechadas com integrais duplas sobre as regiões que elas delimitam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral integralgamma dx + dy. Podemos reescrever isso como integralgamma 1,dx + 1,dy, ou seja, estamos integrando o campo vetorial F = (1, 1) ao longo da curva gamma.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema de Green, que relaciona a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O teorema diz:
ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde D é a região delimitada por gamma, e P e Q são as componentes do campo vetorial.

Passo 4

No nosso caso, P = 1 e Q = 1. Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(1) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y(1) = 0

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointgamma dx + dy = integral duplaD (0 - 0),dA = integral duplaD 0,dA = 0

Resposta

Portanto, a integral integralgamma dx + dy é igual a zero para qualquer curva fechada gamma de classe C^1 por partes.

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