Mostre que a integral
é nula, qualquer que seja a curva fechada
de classe
por partes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral
é igual a zero para qualquer curva fechada
que seja de classe
por partes. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha e ao teorema de Green, que conectam integrais sobre curvas fechadas com integrais duplas sobre as regiões que elas delimitam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral
. Podemos reescrever isso como
, ou seja, estamos integrando o campo vetorial
ao longo da curva
.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema de Green, que relaciona a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O teorema diz:
onde
é a região delimitada por
, e
e
são as componentes do campo vetorial.
Passo 4
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a zero para qualquer curva fechada
de classe
por partes.