Mostre que a integral é nula, qualquer que seja a curva fechada de classe por partes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral é igual a zero para qualquer curva fechada que seja de classe por partes. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha e ao teorema de Green, que conectam integrais sobre curvas fechadas com integrais duplas sobre as regiões que elas delimitam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral . Podemos reescrever isso como , ou seja, estamos integrando o campo vetorial ao longo da curva .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema de Green, que relaciona a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O teorema diz:
onde é a região delimitada por , e e são as componentes do campo vetorial.

Passo 4

No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:

Resposta

Portanto, a integral é igual a zero para qualquer curva fechada de classe por partes.

Exercícios relacionados

Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.
Encontrar os extremos relativos da função sujeita à restrição .
Resp: ponto de Mínimo e ponto de Máximo.
Seja
Determine e .
Resolva a equação diferencial , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que ; b) Calcule as transformadas de Laplace e ; c) Mostre que iw se . d) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; e) Deduza a função de Green do problema.