Calcular o fluxo do campo através da parte superior da superfície limitada pelo cone .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do campo vetorial através da parte de cima da esfera , que está limitada pelo cone . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de superfície e aplicar um pouco de cálculo vetorial. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que estamos fazendo. A esfera é uma esfera de raio 1 centrada na origem. O cone corta essa esfera em uma curva. Essa curva define o limite da parte superior da esfera que vamos considerar. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Aqui, é o raio (no nosso caso, ), é o ângulo com o eixo z, e é o ângulo no plano xy.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os limites para . O cone em coordenadas esféricas fica:
Então, a parte da esfera que vamos considerar tem variando de a .
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície usando e :
O vetor normal à superfície na esfera é simplesmente , já que a esfera é centrada na origem e o raio é 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Passo 6
A integral de superfície fica então:
Vamos resolver isso passo a passo. Note que a integral em de de a é zero, porque as funções são periódicas e se cancelam ao longo do intervalo.
Então, sobra:
Integrando em :
Avaliando de a :
Multiplicando pela integral em :
Resposta
O fluxo do campo através da parte superior da superfície é .