Nos Exercícios 1-6, encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
  1. 2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 + ... + 2/3^(n-1) + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a fórmula da soma parcial de uma série e depois determinar a soma dessa série se ela convergir. A série que vamos analisar é:
Isso faz parte do conteúdo de Progressões Geométricas e Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão da série, e depois aplicar as fórmulas apropriadas para encontrar a soma parcial e a soma total, se possível.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série. Olhando para a série, o primeiro número é 2. Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a razão da série. A razão é o número que multiplicamos para passar de um termo para o próximo. Vamos ver:
Então, a razão é:

Passo 4

Com o primeiro termo e a razão identificados, podemos usar a fórmula da soma parcial de uma Progressão Geométrica. A fórmula para a soma dos primeiros termos de uma PG é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando por :

Passo 6

Agora, para encontrar a soma da série infinita, precisamos verificar se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão . No nosso caso:
Então, a série converge. A soma da série infinita é dada pela fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

A soma da série infinita é 3.

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