Nos Exercícios 1-6, encontre a fórmula para a -ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a fórmula da soma parcial de uma série e depois determinar a soma dessa série se ela convergir. A série que vamos analisar é:
Isso faz parte do conteúdo de Progressões Geométricas e Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão da série, e depois aplicar as fórmulas apropriadas para encontrar a soma parcial e a soma total, se possível.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série. Olhando para a série, o primeiro número é 2. Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a razão da série. A razão é o número que multiplicamos para passar de um termo para o próximo. Vamos ver:
Então, a razão é:
Passo 4
Com o primeiro termo e a razão identificados, podemos usar a fórmula da soma parcial de uma Progressão Geométrica. A fórmula para a soma dos primeiros termos de uma PG é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando por :
Passo 6
Agora, para encontrar a soma da série infinita, precisamos verificar se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão . No nosso caso:
Então, a série converge. A soma da série infinita é dada pela fórmula: