Encontrar uma função tal que e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial e que passe pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a derivada na equação dada:

Passo 3

Agora que temos , queremos encontrar a função . Sabemos que a derivada de em relação a é , então para encontrar precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 4

Vamos integrar:
A integral de é , então:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para achar , usamos a condição inicial . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:

Resposta

A função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é:

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Encontrar a primitiva para a função tal que:
a) e
b) e