Encontrar a função tal que:
(b) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função que satisfaz a equação e que . Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa integral. Sabemos que se , então derivando ambos os lados em relação a , temos .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, derivamos o lado direito da equação:
Então, temos:

Passo 4

Agora, isolamos :
Para encontrar , precisamos integrar :

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Fazendo uma substituição:
Substituindo na integral:
Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, usamos a condição para encontrar :
Então:

Resposta

Portanto, a função é:

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(e)
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(a)
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(g)
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(g)