Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que é:
Aqui, estamos trabalhando com integração por substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadraticos. Vamos precisar lembrar algumas substituições trigonométricas padrão para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral:
Agora, focamos em resolver:
Passo 3
Para resolver integrais que envolvem
, usamos a substituição trigonométrica
. Aqui,
porque
. Então, fazemos:
Dessa forma,
será:
E a expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
Substituindo todas essas expressões na integral original, temos:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calculemos
:
Agora, substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Aqui usamos o fato de que
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar
em termos de
.
No triângulo:
- A hipotenusa é
- O cateto adjacente é
- O cateto oposto é
Então,
é:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(a)
(a)
Calcule as integrais das seguintes funções trigonométricas:
©
©
Encontrar a função
tal que:
(b) e
(b)
Calcule as integrais definidas:
(g)
(g)