Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que é:
Aqui, estamos trabalhando com integração por substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadraticos. Vamos precisar lembrar algumas substituições trigonométricas padrão para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral:
Agora, focamos em resolver:

Passo 3

Para resolver integrais que envolvem , usamos a substituição trigonométrica . Aqui, porque . Então, fazemos:
Dessa forma, será:
E a expressão dentro da raiz fica:

Passo 4

Substituindo todas essas expressões na integral original, temos:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculemos :
Agora, substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Aqui usamos o fato de que .

Passo 6

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de .
No triângulo:
  • A hipotenusa é
  • O cateto adjacente é
  • O cateto oposto é
Então, é:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(a)
Calcule as integrais das seguintes funções trigonométricas:
©
Encontrar a função tal que:
(b) e
Calcule as integrais definidas:
(g)