Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de deformação por cisalhamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar e expressar, em termos da velocidade e das derivadas da velocidade, a taxa de deformação por cisalhamento para um escoamento tridimensional. Isso faz parte da mecânica dos fluidos, especificamente no estudo das taxas de deformação no fluxo. Precisaremos usar a definição do tensor de taxa de deformação e as derivadas das componentes da velocidade para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um fluido com velocidade descrita pelas componentes V = (u, v, w) , e nas direções , e , respectivamente. Ou seja, a velocidade vetor é dada por:

Passo 3

A taxa de deformação por cisalhamento está relacionada a como essas componentes de velocidade mudam no espaço. Para descrever isso, usamos o tensor de taxa de deformação , que capta as taxas de variação da velocidade em diferentes direções.

Passo 4

O tensor de taxa de deformação para um escoamento tridimensional é definido por:
dotepsilonij = 12 ( partial uipartial xj + partial ujpartial xi )
onde e são as componentes da velocidade nas direções e .

Passo 5

Para encontrar a taxa de deformação por cisalhamento, focamos nas componentes fora da diagonal do tensor, que representam as deformações de cisalhamento. Por exemplo, a componente dotepsilonxy = 12 ( partial upartial y + partial vpartial x ) é:

Passo 6

Da mesma forma, temos outras componentes de cisalhamento:
dotepsilonxz = 12 ( partial upartial z + partial wpartial x )
dotepsilonyz = 12 ( partial vpartial z + partial wpartial y )

Resposta

A taxa de deformação por cisalhamento para um escoamento tridimensional é dada pelas seguintes expressões em termos das velocidades e suas derivadas:
dotepsilonxy = 12 ( partial upartial y + partial vpartial x )
dotepsilonxz = 12 ( partial upartial z + partial wpartial x )
dotepsilonyz = 12 ( partial vpartial z + partial wpartial y )

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