Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de deformação por cisalhamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar e expressar, em termos da velocidade e das derivadas da velocidade, a taxa de deformação por cisalhamento para um escoamento tridimensional. Isso faz parte da mecânica dos fluidos, especificamente no estudo das taxas de deformação no fluxo. Precisaremos usar a definição do tensor de taxa de deformação e as derivadas das componentes da velocidade para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um fluido com velocidade descrita pelas componentes
,
e
nas direções
,
e
, respectivamente. Ou seja, a velocidade vetor
é dada por:
Passo 3
A taxa de deformação por cisalhamento está relacionada a como essas componentes de velocidade mudam no espaço. Para descrever isso, usamos o tensor de taxa de deformação
, que capta as taxas de variação da velocidade em diferentes direções.
Passo 4
O tensor de taxa de deformação para um escoamento tridimensional é definido por:
onde
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
.
Passo 5
Para encontrar a taxa de deformação por cisalhamento, focamos nas componentes fora da diagonal do tensor, que representam as deformações de cisalhamento. Por exemplo, a componente
é:
Passo 6
Da mesma forma, temos outras componentes de cisalhamento:
Resposta
A taxa de deformação por cisalhamento para um escoamento tridimensional é dada pelas seguintes expressões em termos das velocidades e suas derivadas: