Encontrar os pontos de máximo e mínimos relativos das seguintes funções, se existirem.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos da função definida por partes:
Isso envolve usar cálculo, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge esses pontos. Vamos precisar derivar cada parte da função e analisar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada parte da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem estar os máximos ou mínimos.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero.
Para
:
Mas
não está no domínio de
, então não há pontos críticos nessa parte.
Para
:
Aqui,
está incluído, então temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Além dos pontos críticos, precisamos verificar o comportamento na fronteira entre as duas partes da função, que é
.
Vamos calcular o valor da função em
:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento da função ao redor de
:
Para
,
é sempre positivo e tem um mínimo em
.
Para
,
também é sempre positivo e tem um mínimo em
.
Passo 6
Como a função não apresenta pontos onde a derivada muda de sinal de positivo para negativo ou vice-versa além de
, e em
a função atinge um valor mínimo, concluímos que:
Resposta
A função possui um ponto de mínimo relativo em
com
. Não há pontos de máximo relativos.