Encontrar os pontos de máximo e mínimos relativos das seguintes funções, se existirem.
(b) f(t) = { t^2, t < 0; 3t^2, t ≥ 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos da função definida por partes:
Isso envolve usar cálculo, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge esses pontos. Vamos precisar derivar cada parte da função e analisar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada parte da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem estar os máximos ou mínimos.
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero.
Para :
Mas não está no domínio de , então não há pontos críticos nessa parte.
Para :
Aqui, está incluído, então temos um ponto crítico em .

Passo 4

Além dos pontos críticos, precisamos verificar o comportamento na fronteira entre as duas partes da função, que é .
Vamos calcular o valor da função em :

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da função ao redor de :
Para , é sempre positivo e tem um mínimo em .
Para , também é sempre positivo e tem um mínimo em .

Passo 6

Como a função não apresenta pontos onde a derivada muda de sinal de positivo para negativo ou vice-versa além de , e em a função atinge um valor mínimo, concluímos que:

Resposta

A função possui um ponto de mínimo relativo em com . Não há pontos de máximo relativos.

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